Các bài toán về hàm số 3

Bài 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
Giáo viên : Trần văn Minh
PTTH Nguyễn Hữu Cầu
Bài toán 1:
Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường :
(C1) : F(x,y)=0 và (C2) : G(x,y)=0
Hãy tìm tọa độ điểm chung của 2 đường đó .
x0
y0
x
y
O
(C1)
(C2)
Tọa độ điểm chung (nếu có) của (C1) và (C2) là nghiệm của phuong trình sau đây :
Giải hệ phuong trình này để tìm tọa độ điểm chung của 2 đường. Số nghiệm của hệ phương trình là số điểm chung của chúng.
Đặc biệt :
Nếu phuong trình của (C1) và (C2) được cho dưới
dạng :
(C1) : y=f(x) (C2) : y=g(x)
thì hoành độ của các điểm chung là nghiệm của phuong trình : f(x)=g(x) (*)
Giải phuong trình (*) ta được hoành độ của các giao điểm (nếu có) của (C1) và (C2). Số nghiệm của (*) là số điểm chung của 2 đường ấy.
Ta gọi (*) là phuong trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).
Ví dụ 1 :
Tìm tọa độ điểm chung của 2 đường sau đây :
Giải :
Tọa độ điểm chung của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình sau đây :
Hình vẽ
Tùy theo m, biện luận số điểm chung của 2 đường
sau đây :
Vậy (C) và (d) có 2 điểm chung : A(1;0) và B(-3;3)
Ví dụ 2 :
Giải :
Hoành độ điểm chung của (C) và (d) là nghiệm của phương trình :
Hình vẽ
Nếu m=8 thì phuong trình (1) vô nghiệm .
Kết luận :
m=8 : (d) và (C) không có điểm chung
- Biến đổi (*) về dạng : f(x) = m .
Bài toán 2:
Vaán ñeà : Cho phöông trình F(x,m) = 0 (*) ( m: tham soá )
Tùy theo m, cho biết số nghiệm của phuong trình đó?
Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phuong trình.
Phương pháp :
- Vẽ đồ thị (C) của hàm số y=f(x) và đường thẳng d: y=m
Số nghiệm của phương trình (*) là số điểm chung của (C) và d.
- Nhìn vào đồ thị đọc số điểm chung của (C) và d và suy ra số nghiệm của phương trình .
Ví dụ : Tùy theo giá trị của m, cho biết số nghiệm của phương trình : x3- 3x+1-m = 0 (*) . Xét dấu nghiệm số của phương trình đó .
Giải :
Vẽ đồ thị (C) của hàm số : y=x3-3x+1 và đường thẳng d: y=m trong cùng 1 mặt phẳng tọa độ . Khi đó, (*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d . Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau :
m > 3 hay m < -1 : phương trình có 1 nghiệm
m=3 hay m=-1 : phương trình có 2 nghiệm
-1< m < 3 : phương trình có 3 nghiệm
Hình vẽ
Ví dụ : Tìm giá trị của m sao cho :
1/ phương trình : x3- 3x+1-m = 0 (*) có ít nh?t 1 nghi?m nằm trong khoảng (0;2).
2/ phương trình : x3 -3x+1-m = 0 (*) có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2)
Giải :
Ta kế thừa bài toán trước.
Vẽ đồ thị hàm số y=x3-3x+1,
Dựa vào hình vẽ ta có các kết quả sau đây :
4/ m=-1 : 1 nghiệm
5/ m<-1 : 0 nghiệm
Hình vẽ
Câu hỏi
Ví dụ : Tìm m để phuong trình: x3-3mx2+3(2m-1)x -1 = 0 có đúng 3nghiệm ?
Giải : Đặt f(x) = x3-3mx2 +3(2m-1)x-1
f`(x) = 3x2-6mx + 3(2m-1) = 3(x2-2mx + 2m-1)
Phuong trình (*) có 3 nghiệm khi và ch? khi :
Bài toán 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Trong mặt phẳng Oxy, cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và đường thẳng d : y=kx+p .
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình :
Chú ý :
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d
Nghiệm x0 của (*) là hoành độ tiếp điểm
Định lý :
Từ (3) suy ra (C) và d có điểm chung M0 và :
Từ (4) suy ra d tiếp xúc với (C) tại M0
Chứng minh :
Gi? s? d tiếp xúc với (C) tại M0(x0;y0)
Suy ra M0 là 1 điểm chung của d và (C) , do đó x0 là nghiệm của (1).
Hơn nữa, theo ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có : f`(x0) = k . Vậy x0 là nghiệm của hệ phương trình (*)
Đảo lại, gi? s? x0 là nghiệm của hệ (*) tức là :
Định lý đã được chứng minh
Ví dụ : Cho (C): y=x3-3x+1 và điểm A(1;-6). Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A.
Giải :
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k, phương trình của d là : y=k(x-1)-6
d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây có nghiệm :
Vậy có 1 tiếp tuyến đi qua điểm A là
d: y=9x-15
Mở rộng :
Cho 2 đường (C1) : y=f(x) và (C2): y=g(x)
Ta bảo (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại T nếu :
1/ T là 1điểm chung của (C1) và (C2)
Định lý : (C1) và (C2) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây có nghiệm :
2/ Tiếp tuyến của (C1) và (C2) tại T trùng nhau
Chú ý :
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)
Nghiệm x0 của hệ (*) là hoành độ tiếp điểm của (C1) và (C2)
Bài toán bổ sung về hàm số bậc 3:
Tìm di?u ki?n để phuong trình ax3+ bx2 + cx + d = 0 (*) có :
1/ 1 nghiệm
2/ 2 nghiệm
3/ 3 nghiệm
y’ = 3ax2 + 2bx + c
(*) có 1 nghiệm khi và ch? khi :
(*) có 2 nghiệm khi và ch? khi :
(*) có 3 nghiệm khi và ch? khi :
Đặt : y = ax3 + bx2 + cx + d
Tọa độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ phương trình :
Từ (2) và (3) suy ra :
Thay tọa độ của A vào (4) suy ra m = 1.
Đáp số :
T
(C1)
(C2)
-8