Các bài toán khó vòng 3-5

CÁC BÀI TOÁN KHÓ TỪ VÒNG 3 ĐẾN VÒNG 5 VIOLYMPIC.VN
A. PHẦN HÌNH HỌC:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức :
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 –

Hướng dẫn:
+
= 900
sin
= cos
; cos
= sin
; ..... và cos450 =
ta được:
A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + . . . . + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 –

= (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + ....+(cos2 440 + cos2460)+cos2450 –

= (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + .... + (cos2 440 + sin2440) +
–

= 1.44 = 44
Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + . . . . + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 –
.
b) C = tg210 . tg220. tg230 . . . . tg2870. tg2880. tg2890 .
c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + . . . . + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450 .
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm2 . Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi
của hình chữ nhật ABCD ?
Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy
ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)
Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108
Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1)
Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441
x + y = 21
Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9
Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm
Cách 2: Từ x – y = 3
y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình:
x (x – 3) = 108
x2 – 3x – 108 = 0 (1)

x2 – 12x + 9x – 108 = 0

( x – 12)(x + 9) = 0
Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả.
Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn.
Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm2.Biết AB – AC = 47dm.
Tính độ dài AB và AC.
Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình:
x2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63
Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =
cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có
D
AB , E
BC , F
AC. Biết AB > AC và
. Tính AB ; AC.
Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x2 + y2 =
= 45. (1)
Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên

Mà
nên SABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)
Từ (1) và (2) suy ra: (x + y)2 = 81 và (x – y)2 = 9
Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3
Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,
M là trung điểm BC. Cho biết
.
Tính BC : AC : AB ?
Hướng dẫn: Chú ý
; I là giao điểm các đường phân giác ta tính được
, từ đó chứng minh được BC = 2CD
và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD
kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa 1
ba cạnh