Các bài tập về tứ giác nội tiếp

9 bài CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BÀN:
* Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn: 1/ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. 2/: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn. 3/: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 4/: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc (an-pha) thì nội tiếp được trong một đường tròn.
II. Một số bài toán luyện tập:
1/ Dạng áp dụng dấu hiệu 1 & 4 * Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC. a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này. b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) và ( K ) tiếp xúc nhau.
*Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn: - Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI. Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ). ( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập 2 trang 85) b/ Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
- Hai đường tròn cùng đi qua chỉ có 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc TX trong, hoặc TX ngoài. - Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. OO’ = R + r - Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính. OO’ = R – r> 0  - Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = IO.
Kẻ dây MN (AB tại I. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC, cắt MN tại E. a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong 1 đường tròn. Xác định tâm đường tròn này. b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
Gợi ý: a/ Chứng minh tương tự câu a ở bài 1 trên. (Góc ACB chắn đườngkính AB; MI(AB)
Tâm đường trong nội tiép IECB nằm tại trung điểm EB
Câu b/ Hai TG đó có chung góc A, góc AME và ACM chắn 2 cung AM = cung AN
* Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN AC. Gọi M là trung điểm của BC. Hai đường thẳng AM và EN cắt nhau tại F. a/ Chứng minh các tứ giác MCNF và AMNE nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn này. b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.
Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu 1 để ch.minh MCNF và dựa vào dấu hiệu 4 để chứng minh AMNE nội tiếp.
- Tứ giác MCNF có góc M=gócN =gócvuông - Góc M và góc N cùng chắn AB ( Trung điểmAB là tâm ĐT ngoại tiếp
b/ Chứng minh 2 tamgiác vuông AME và FME bằng nhau do EM chung, chứng minh thêm AM = MF
Bài 4:
Cho đường tròn ( O;R) và đường thẳng xy cách tâm O một khoảng OK= a ( 0 < a < R ). Từ một điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm; O và B nằm cùng phía với xy) a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) tại hai điểm D và E. b/ Chứng minh 5 điểm O, A, B, C, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của