Các bài Luyện tập

Bài 5:
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.
Gọi MO=d. Tính MA.MB theo d và R.

LG
Vì hai đường thẳng AB và CD cắt nhau nên xác định mp(P).
(P) cắt S(O;R) theo giao tuyến là một đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D. Trong (P):
Suy ra: MA.MB=MC.MD
Trong (P):
Kẻ đường kính BE.
MA.MB = MB.(ME+EA) = MB.ME + MB.EA = MB.ME
= (MO+OB)(MO+OE) = (MO+OB)(MO-OB)
b) (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn tâm O bán kính R.
Trong (OAB): MA.MB=
Với d=MO, R là bán kính của mặt cầu.
Tương tự ta có:
MC.MD
Vậy MA.MB = MC.MD
Bài 6
Cho mặt cầu S(O;R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến tới mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh AMB=AIB
.
.
O
O
M
B
LG
Xét hai tam giác AMB và AIB:
AM=AI(hai tiếp tuyến với mặt cầu cùng xuất phát từ một điểm)
Tương tự:BM=BI
AB chung
Vậy: AMB=AIB
Vậy: AMB=AIB
Bài 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c.
Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu nói trên.
. I
.
A’
.
B‘
.
C’
. C
D.
A .

. B
D’.
. I
LG
a) Vì c¸c ®­êng chchÐo cña h×nh hép c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng nªn: OA=OB=OC=OD=OA’=OB’=OC’=OD’
áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông AA`C` ta được:
Do đó
Vậy r=AO
b) Giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn giao tuyến trên có tâm I là trung điểm của BD và có bán kính là:
Bài 8
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
A
+ Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại M,N,P,Q,R,S.
+ Khi đó ta có:
AM=AN=AP=a và BM=BQ=BS=b;
CQ=CN=CR=c và DP=DR=DS=d.
+ Do đó: AB+CD=a+b+c+d
AC+BD=a+b+c+d
AD+BC=a+b+c+d
+ Vậy: AB+CD=AC+BD=AD+BC.
Bài 9
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rẳng các mặt cầu tâm O bán kính r=OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
A
I
a
LG
+ Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với a tại I. Khi đó mặt cầu tâm O bán kính OA cắt mặt phẳng () theo một đường tròn tâm I bán kính IA không đổi.
Vậy các mặt cầu tâm O bán kính R=OA luôn luôn đi qua đường tròn cố định tâm I bán kính r’=IA không đổi