Các bài Luyện tập

GIẢI ĐỀ CƯƠNG HÌNH C I
A. KHỐI LĂNG TRỤ
Tam giác ABC vuông cân tại A ? AB = AC = a
ABC.A`B`C` là lăng trụ đứng ? AA`? AB
? ?ABA` vuông tại A
Thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C` là:
Giải
Bài 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A`B`C`có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 4 và diện tích tam giác A`BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi I là trung điểm BC
Thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C` là:
Giải
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết A`B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C` là:
Giải
Tam giác ABC vuông tại A ? AB = AC.tan600
Tam giác ACC` vuông tại C
Thể tích khối tru là:
Giải
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A`B`C`D`có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD` của lăng trụ hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 300. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ.
DD`? (ABCD) ? DD`? DB
?BDD` vuông tại D ? DD` = BD.tan300
Các mặt bên của lăng trụ là các hình chử nhật bằng nhau với các cạnh a và
Tổng diện tích các mặt bên là:
Bài 6: Cho hình hộp đứng ABCD.A`B`C`D`có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600 và AB`hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 300. Tính thể tích của khối hộp.
?ABB` vuông tại B ? BB`= AB. tan300
?ABD đều cạnh a
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết (A`BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
?ABA` vuông tại A ? AA` = AB.tan600
Bài 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A`B`C`D`có cạnh đáy a và mp(BDC`) hợp với đáy (ABCD) một góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.
ABCD là hình vuông ? BD ? AC (1)
ABCD là hình vuông ? BD ? AC (1)
?OCC` vuông tại C ? CC` = OC.tan600
Thể tích khối lăng trụ là:
Bài 9: Cho hình hộp chử nhật ABCD.A`B`C`D` có AA` = 2a; mp(A`BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 600 và A`C hợp với đáy (ABCD) một góc 300. Tính thể tích khối hộp chử nhật.
?ACA` vuông tại A
ABCD là hình chử nhật ? AB ? BC (1)
Từ (1) và (2) ? Góc giữa (A`BC) với (ABCD) là
?ABA` vuông tại A
?ABC vuông tại B
Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A` xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết AA` hợp với đáy (ABC) một góc 600.
Chứng minh BB`C`C là hình chử nhật.
Tính thể tích khối lăng trụ.
a) Gọi H là trung điểm BC,
?ABC đều ? BC ? AH (1)
Từ (1) và (2) ? BC ? (A`AH) ? BC ? AA`
Mà AA` // BB` ? BC ? BB`
? Mặt bên BB`C`C là hình chử nhật.
b) O?AH và A`O ? (ABC)?
?AOA` vuông tại O
Bài 11: Cho lăng trụ ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết chân đường vuông góc hạ từ A` xuống (ABC) trùng với trung điểm BC và AA` = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy của lăng trụ.
b) Tính thể tích khối lăng trụ.
?AHA` vuông tại H
b) ?AHA` vuông tại H
Bài 12: Cho hình hộp ABCD. A`B`C`D` có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD bằng 600, chân đường vuông góc hạ từ B`xuống (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo, biết BB` = a.
a) Tính góc hợp bởi cạnh bên với mặt đáy.
b) Tính thể tích khối hộp.
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB` ? (ABCD) ? OB là hình chiếu vuông góc của BB` trên (ABCD).
?ABD đều cạnh a
?OBB` vuông tại O
b) ?OBB` vuông tại O
?ABD đều cạnh a
B. KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a, biết SA vuông góc với đáy và SB hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp.
SA ? (ABC) ? AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC)
?ABC vuông cân tại B
?SAB vuông tại A
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết SA vuông góc với đáy và (SBC) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp.
Gọi I là trung điểm của BC;
?ABC đều ? AI ? BC (1)
?SAI vuông tại A
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy, biết mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
ABCD là hình vuông ? AD ? CD (1)
?SAD vuông tại A
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AB = BC = a, AD = 2a, SA ? (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Gọi I là trung điểm AD
? ?ACD vuông tại C ? AC ? CD (1)
?SAC vuông tại A
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Gọi H là trung điểm AB
?SAB đều cạnh a ? SH ? AB (1)
Từ (1) và (2) ? SH ? (ABCD)
Bài 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC)?(BCD), AD = a và AD hợp với (BCD) một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Gọi H là trung điểm BC;
?ABC đều ? AH ? BC (1)
Từ (1) và (2) ? AH ? (BCD)
? DH là hình chiếu vuông góc của DA trên (BCD)
và
?BCD vuông tại D ? BC = 2DH = a
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC = a, mặt bên SAC vuông góc với đáy và các mặt bên còn lại đều hợp với đáy một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Kẻ SH ? AC; vì (SAC) ? (ABC) ? SH ? (ABC)
? BIHJ là hình vuông ? BH là phân giác góc B ? H là trung điểm AC ? I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp.
Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) và I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AC, CB, BA
Tương tự ta có BC?SJ, AB?SK
(r là bán kính đường tròn tâm O nội tiếp ?ABC)
Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức
?SOI vuông tại O
Vậy thể tích của khối chó S.ABC là:
Bài 9: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng S.ABCD là khối chóp đều và tính thể tích của khối chóp đó.
Ta có: ABCD là hình thoi ? Giao điểm O của AC và BD là trung điêm của mỗi đường.
?SAC cân tại S ? SO ? AC (1)
?SBD cân tại S ? SO ? BD (2)
Từ (1) và (2) ? SO ? (ABCD);
? ABCD là hình vuông ? S.ABCD là khối chóp đều.
Bài 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. Từ đó suy ra thể tích khối tứ diện MABC.
Gọi H là tâm tam giác đều ABC
? DH ? (ABC)
?DAH vuông tại H
(G trọng tâm ?SBC)
Từ (1) và (2)
b)
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = a. Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng (?) qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
? CE ? AD
?BCD vuông tại C ? DE.DB = CD2
b) Ta có :
?ACD vuông tại C ? DE.DA = CD2
Bài 13: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a, góc CAB bằng 300. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SB. Tính thể tích của các khối chóp S.ABC, H.ABC và S.AHK
Tam giác ABC vuông tại C
?SAB vuông cân tại A ? K trung điểm SB
Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH
Bài 14: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (?) đi qua A, B và M trung điểm SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia.
Kẻ MN // BC ? N trung điểm của SD
? ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi (?)
Từ (1) và (2) ta có:
Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ? SO ? (ABCD)
? OC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)
?SOC vuông tại O
? AEMF là thiết diện của khối chóp cắt bởi (?).
Ta có : I là trọng tâm ?SAC và EF//BC
Từ (1) và (2) ? SC ? (AB`D`).
Tương tự ta có: AD` ? SC (2)
Gọi I là giao điểm của SO và B`D`;
kéo dài AI cắt SC tại C` ? AC` ? SC
b) Ta có :
?SAD vuông tại A có AD` là đường cao
?SAC vuông cân tại A có AC` ? SC
? C` trung điểm SC
a) Gọi ?O? AC ? BD, ?G? = SO ? MN và ?P? = SC ? AG
? P là giao điểm của (AMN) với SC
Vậy G là trọng tâm của ?SAC.
Mặt khác ta có:
C. TỔNG HỢP
Bài 1 : Cho lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA`. Tính thể tích của khối tứ diện BMB`C` theo a.
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên (A`B`C`D`)
Ta có: DA` = DC` = DD`
? H là tâm tam giác đều A`B`C`
?DHD` vuông tại H
Bài 3 : Cho hình hộp chử nhật ABCD.A`B`C`D` có AB = a, BC = 2a, AA` = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB`C.
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB`C)
Ta có : AB`2 = AC2 = 5a2 ? ?AB`C cân tai A
Gọi I là trung điểm của B`C ? AI ? B`C
?AIC vuông tại I
b) Gọi h = d(M, (AB`C))
Bài 4 : Cho hình hộp chử nhật ABCD.A`B`C`D` có AB = a, BC = b, AA` = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A`B` và B`C`. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D`.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A`B`C`D`.
? J là giao điểm của CC` với (AEF)
Bài 6 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A`B`C`. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA` và BB`. Đường thẳng CE cắt đường thẳng C`A` tại E`. Đường thẳng CF cắt đường thẳng C`B` tại F`. Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C`.
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
b) Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A`B`C` sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABEF. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C`E`F`
A`E // CC` và B`F // C`C
? A`, B` lần lượt là trung điểm của các cạnh C`E` và C`F`
Bài 7 : Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A`B`C` có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A`BB`C.
b) Mặt phẳng đi qua A`B` và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp C.A`B`FE.
b) Gọi I trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC