Các bài Luyện tập

BÀI TẬP, BẤT ĐẲNG THỨC
GV: Trương Mạnh Hùng
Lớp: 10A1
TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU
Những vấn đề chính

Dùng định nghĩa
Dùng phép biến đổi tương đương
Dùng bđt Cauchy(Cô - si)
Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất


1
4
3
2
Dùng định nghĩa
- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 .
- Lưu ý : A2 ? 0 với mọi A ; dấu `` = `` xảy ra khi A = 0 .
Ví dụ 1:
Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 ? 2(x + y + z)
Giải:
Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2 ? 0 với mọi x
(y - 1)2 ? 0 với mọi y
(z - 1)2 ? 0 với mọi z
=> H ? 0 với mọi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
Dùng định nghĩa
Bài tập
1. Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ? a(b + c + d + e)
2. Chứng minh bất đẳng thức :

�
Dùng định nghĩa
Bài tập
Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e)
= ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2

Do ( )2 ? 0 với mọi a, b

Do( )2 ? 0 với mọi a, c

Do ( )2 ? 0 với mọi a, d

Do ( )2 ? 0 với mọi a, e
=> H ? 0 với mọi a, b, c, d, e
Dấu `` = `` xảy ra <=> b = c = d = e =
Dùng định nghĩa
Bài tập
Xét hiệu : H =

=

= .

Với mọi a, b .
�
Dấu `` = `` xảy ra khi a = b .

Dùng biến đổi tương đương
Một số đẳng thức thường dùng
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng .
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Dùng biến đổi tương đương
Chú ý các Tính chất sau:
x2 ? 0 , ?x?R
x2+y2+z2? 0,?x,y, z ?R.
Dấu `=` x?y ra khi x=y=z=0.
x.y> 0 ? x và y cùng dấu.
Dùng biến đổi tương đương

Ví dụ 1. Cho a> b>0. CMR: 1/a <1>
Chứng minh
(1)1/a-1/b>0
(b-a)/ab>0 (1’)
V× a>b>0b-a<0 vµ a.b>0. Do ®ã (1’) ®óng . VËy (1) ®óng.
Dùng biến đổi tương đương
Bài tập
Dùng BĐT Cauchy
BĐT Côsi
Cho 2 số không âm
BĐT Côsi
Cho 3 số không âm
Dấu `=` x?y ra khi
a=b
Dấu `=` x?y ra khi
a=b=c
Dùng BĐT Cauchy
Ví dụ 2
Cho a,b dương, CMR:
a) a/b+b/a? 2. b) (a+b)(ab+1)? 4ab
Áp dụng bđt cô- si cho hai số không âm a/b và b/a ta có
Dùng BĐT Cauchy
Ví dụ 2
b. CM: (a+b)(ab+1)? 4ab
�p dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:




Nhân theo vế (1) và (2), ta được:
(a+b)(ab+1)?4ab (đpcm).
Dấu `=` xảy ra ? {a=b và ab=1}? a=b=1

Dùng BĐT Cauchy
Bài tập
Dùng BĐT Cauchy
Bất đẳng thức cô - si
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Hệ quả
Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Khái niệm
Xét hàm số y = f(x), với tập xác định D.
a. M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)
b. M là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Ví dụ 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0.
Do x>0 nên ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0 là
Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
Bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Với 0 < x <1.
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi chi khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 khi
Củng cố