Các bài Luyện tập

Kính chào quý thầy cô và các em học sinh đến tham dự buổi thao giảng ngày hôm nay
bất đẳng thức
Giáo án giảng dạy
Tiết 34: Bài tập
1./. Cũng cố kiến thức
Các tính chất của BĐT
Định nghĩa
Tính chất
Định nghĩa:

a>b ? a - b >0
a?b ? a - b? 0

Từ đó suy ra:
a?b ? a - b? 0
B1
B2,C3
1./. Cũng cố kiến thức
BĐT Côsi
Cho 2 số không âm
BĐT Côsi
Cho 3 số không âm
Dấu `=` xãy ra khi
a=b
Dấu `=` xãy ra khi
a=b=c
2
3
1./. Cũng cố kiến thức
Hệ quả : {Của BĐT Côsi}
1). Nếu 2 số thực dương có `tổng` không đổi thì `tích` của
chúng đạt GTLN khi 2 số đó bằng nhau.
2). Nếu 2 số thực dương có `tích` không đổi thì `tổng` của
chúng đạt GTNN khi 2 số đó bằng nhau.
BĐT
chứa dấu
GTTĐ
Chú ý các Tính chất sau:
x2 ? 0 , ?x?R
x2+y2+z2? 0,?x,y, z ?R.
Dấu `=` xãy ra khi x=y=z=0.
x.y> 0 ? x và y cùng dấu.
1./. Cũng cố kiến thức
Nếu a, b `không âm`, ta có:
a? b ? a2 ? b2
B2
Bài tập 1. Cho a> b>0. CMR: 1/a <1>Cách1:
(1)?1/a-1/b>0
?(b-a)/ab>0 (1`)
Vì a>b>0?b-a<0 và a.b>0. Do đó (1`) đúng . Vậy (1) đúng.
Cách 2:
Nhân hai vế của (1) với a.b>0 ta được:
(1)? b < a (1`)
Vì (1`) đúng theo giả thiết, nên (1) đúng.
KT
C2
KT
C1
C 1
C 2
Bài 2:Cho a>0, b>0. CMR: (2)
Giải:
Vì 2 vế đều dương. Bình phương 2 vế ta được:
(2) ? (a+b)2 ? 2(a2+b2)
? a2+b2-2ab? 0
? (a-b)2 ? 0 (2`).
Vì (2`) đúng nên (2) đúng.
C1
KT
Cách 2: Ta dễ dàng CM được: a2+b2 ? 2ab. áp dụng
tính chất này, ta biến đổi Vế phải của (2) như sau:
KT
Cách 2
Nhận xét: Để ý đến tổng bình phương ở VP, ta có cách
giải như sau: (PP vectơ)
C2
Từ định nghĩa Tích vô hướng
của 2 vectơ, ta có:
áp dụng (*) với:
Nhận xét: Để ý đến tổng bình phương ở VP, ta có cách
giải như sau: (PP vectơ)
C2
Từ định nghĩa Tích vô hướng
của 2 vectơ, ta có:
áp dụng (*) với:
Ta có:
Thay vào (*) ta có BĐT
Cần chứng minh !
Bài 5: Cho a,b dương. CMR:
a) a2b+ab2 ? a3+b3 .
b) a/b+b/a? 2. c) (a+b)(ab+1)? 4ab
Giải:
a).Ta có:
(a)?a3-a2b+b3-ab2? 0
?a2(a-b)- b2(a-b)?0
?(a-b)(a2-b2)?0
?(a-b)2(a+b)?0 (a`).
Vì (a-b)2?0 và a+b>0
nên (a`) luôn đúng.
Vậy (a) đúng.
Cách khác:
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương.
Ta biến đổi Vế phải của (a) như sau:
C1
C2
KT
Bài 5: Cho a,b dương. CMR:
a) a2b+ab2 ? a3+b3 .
b) a/b+b/a? 2. c) (a+b)(ab+1)? 4ab
Câu c):
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm, ta có:




Nhân theo vế (1) và (2), ta được:
(a+b)(ab+1)?4ab (đpcm).
Dấu `=` xảy ra ? {a=b và ab=1}? a=b=1

Cách 2
Câu c): Cách 2:
Cũng áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm:
VP= (a2b+b)+(ab2+a)

VP? 4ab= VT. Hay:(a+b)(ab+1)? 4ab (đpcm).
Dấu `=` xãy ra khi: a2b=b và ab2=a
? a=b=1 (vì a,b dương).
Nhận xét: Nếu a, b không âm. Khi làm theo cách này, ta còn thấy dấu `=` xãy ra khi a=b=0.
Hãy tích cực suy nghĩ để có được nhiều lời giải hay !
1
3
2
Bài tập làm thêm.
Bài 1
Chứng minh các BĐT sau:
Bài 2
Xin chân thành Cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh đến tham dự buổi học ngày hôm nay
Chúc quý thầy cô sức khỏe và hạnh phúc !
Chúc các em học sinh mạnh khỏe, học giỏi !