Các bài Luyện tập

Giáo viên: Hoàng Khởi Lai
CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC 9 (PHẦN 1)
1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M
( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC
HƯỚNG DẪN
DM là dây chung của hai đường tròn ? AO ? DI
? OAD = CDI ; AD = CD ? ? ADO = ? DCI ? IC = OD = � BC
B I C
O

A D
2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn .
a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b/ Chứng minh MA . MB . MC . MD ? 6R2
a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) - 2MA2 .MC2 = AC4 - 2MH2 .AC2 = 16R4 - 8R2.MH2
Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 - 8R2.MK2
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 - 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 - 8R2.R2
= 24R4
b/ A�p dụng Bất đẳng thức Côsi ta có :
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ?
Vì MA4 + MB4 ?

MC4 + MD4 ?

? (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ?
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ? 4MA.MB.MC.MD
4MA.MB.MC.MD ? 24R4
MA.MB.MC.MD ? 6R4 Dấu "=" xảy ra ? MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R4
3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông góc với AB .
Chứng minh EK = EF.
Nhận xét : EF ? AB , EK ? AK
E
? cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD
Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A ? ADE = 2FAE (1)
ADE = KAF = FAE + EAK (2)
Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK
4/ Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a .
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích ? CEF lớn nhất .
a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ? EF , H ? EF .
? DFC = ? DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
CF = CK .
Vì EF = 2a - ( EA + FA ) = ( AB + AD ) - ( EA + FA ) = AB - EA + AD - FA
= EB + FD = EB + BK .
Do đó ? CEF = ? CEK ( c.c.c)
Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau .
CH không đổi , C cố định , CH ? EF ? EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C , a ) .
b/ ? HCF = ? DCF ( H = D = 900� ; CF chung ; CH = CD = a ) ? SHCF = SDCF .
Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
? SCEF = � SCDFEB ? SCEF = � ( a2 - SAEF )
SAEF ? 0 ? SCEF ? � a2 . Dấu " = " xảy ra ? SAEF = 0 ?
E ? B , F ? A hoặc E ? A , F ? D .
Vậy E ? B , F ? A hoặc E ? A , F ? D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất .
5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý . Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N .
a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai .
b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB .
c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông .
a/ BD cắt AE tại H . ? AHB có : HAB = HBA = 450 ? HB ? AH .
Xét ? AEB ta có : EM ? AB ; BH ? AE ? AD ? BE tại N .
Mà DNB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ? DN ? BE tại N
ba điểm A , D , N thẳng hàng
điều phải chứng minh .
b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD .
c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ . Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF .
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!