Các bài giảng: Cơ lượng tử đại cương

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Khoa Vật Lý
Ma Trận Pauli và Phương Trình Trị Riêng
SVTH :Nguyễn Phước
Nguyễn Thùy Dung
Nguyễn Thị Minh Thơ
Lớp : Lý NT - ĐN
Các toán tử hình chiếu spin Sx, Sy,Sz của electron lên các trục tọa độ tuân theo các hệ thức giao hoán giống như đối với các toán tử hình chiếu momen xung lượng quỹ đạo Lx, Ly, Lz.
Giới thiệu: Để xác định trạng thái nội tại của hạt, ngoài ba biến tọa độ x, y, z và thời gian t, ta đưa vào biến spin σ.
Trang 1
Ta đặt:
Với
gọi là các ma trận Pauli.
(1)
Suy ra các ma trận Pauli là các ma trận vuông cấp 2 và có dạng:
(2)
Thay (1) vào
z
y
x
S
S
S
2
2
2
h
h
h
=
=
=
,
,
Trang 2
Ta được các hệ thức giao hoán sau đối với các ma trận Pauli , và


Vì
( 3)
Trang 3

Vì
Mà
Tương tự
( 4 )

=>
Trang 4

Mặt khác, ma trận có dạng tổng quát:
( 5)
Nên từ
Ta có
Trang 5
Từ đó dễ dàng suy ra:
Và
Nếu sử dụng thêm tính chất (5)
Vì là toán tử ecmite là toán tử ecmite
thì ta có , do đó

Trang 6
( 6 )

α số thực bất kỳ, có thể chọn , khi đó ma trận Pauli ( 6 ) có dạng đơn giản
Lập luận tương tự trên, ta có thể tìm được dạng của ma trận
Trang 7
Với lưu ý việc xác định giá trị của β khi đã chọn bây giờ được tính nhờ
=>
=>
=>
Trang 8
Từ hệ thức



Trang 9
Cuối cùng, chú ý rằng:
Nên toán tử bình phương momen spin
Có dạng ma trận:
Và trị riêng của toán tử bằng:
Với
Trang 10
Kết luận
Vậy qua việc tìm ma trận pauli giúp chúng ta.
Cho biết rõ về sự tự quay quanh trục của hạt, mà các chương trước chưa đề cập.
Các ma trận pauli cho ta biến các trạng thái tồn tại của hạt, khi xét nội tại của hạt.
Cho biết dạng của từng spin S lên các trục x, y, z.
BÀI TẬP VÍ DỤ
Electron có spin
Đặt
Tìm hàm riêng và trị riêng của các ma trận
Trang 11
Giải
Ký hiệu là các hàm riêng và
là các trị riêng của ta có:
Ta tìm các hàm riêng dưới dạng:
Trang 12
Từ phương trình ta có:
Từ đây suy ra:
hay
Trang 13
ứng với giá trị thì và hàm riêng
tương ứng là có dạng:
Ứng với giá trị thì và hàm riêng
tương ứng có dạng:
Trang 14
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ( hoặc
hoặc )
Suy ra
hay
( là số thực bất kỳ )
Trong đó là những số thực bất kì.
Vậy:
Trang 15
Từ phương trình ta có:
Từ đây suy ra:

và
Trang 16
Khi ta có và khi
ta có . Các hàm riêng ứng với
và là và :
Trang 17
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
Từ đây suy ra
Tương tự, từ điều kiện suy ra
Vậy:
Trong đó và là những số thực bất kì.
Trang 18
Từ phương trình ta có:
Ta có:
Suy ra: và
Trang 19
Khi đó ta có:
Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
Trang 20
Suy ra
Với là những số thực bất kì.Vậy:
Nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính từ các nghiệm
và
Trang 21
Từ điều kiện chuẩn hóa
Dễ thấy rằng
Trong đó q, k, là những số thực bất kì.
Trang 22
Hàm riêng tổng quát có dạng:
Trong đó α và β và là những
số thực bất kì. Trong trạng thái này hình chiếu spin
không có giá trị xác định. Xác suất của giá trị spin 1/2 trên
trục z bằng và xác suất của giá trị spin -1/2
trên trục z bằng
Trang 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
VŨ VĂN HÙNG: Nhà xuất bản Sư Phạm.
HOÀNG DŨNG: Nhà xuất bản Giáo Dục.
NGUYỄN HỮU MÌNH: Nhà xuất bản Giáo Dục
CÁM ƠN THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI