BT ỨNG DỤNG CỦA ĐL CEVE VÀ MENELAUS

ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS
1. Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh
* Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Giả sử là B’, C’

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ tại M.

/

Ta có:
. Vậy


Gọi A’’ là giao của B’C’ với BC.
Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có

mà
nên
. Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB
nên A’’ nằm ngoài cạnh BC.
Vậy
và A’, A’’ nằm ngoài cạnh BC suy ra
. Do đó A’, B’, C’ thẳng hàng .
* Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam giác ABC được chứng minh tương tự.

2. Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734)
Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi
.
Chứng minh

Qua A kẻ đường thẳng song song
với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ tại M, N.
Ta có:
.
Vậy ta có




Gọi I là giao của BB’ và CC’. Giải sử AI cắt BC tại A’’, suy ra A’’ cũng thuộc BC.
Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có
mà

nên
. Từ đó suy ra
. Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy

Định Lý Ceva ( CHUNG)
Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:
AD,BE,CF đồng quy tại một điểm.

.

.
Chứng minh:
Chúng ta sẽ chứng minh rằng 1.1 dẫn đến 1.2, 1.2 dẫn đến 1.3, và 1.3 dẫn đến 1.1.
Giả sử 1.1 đúng. Gọi P là giao điểm của AD, BE, CF. Theo định lý hàm số sin trong tam giác APD, ta có:

(1)Tương tự, ta cũng có:
(2)

(3)
Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta được 1.2.
Giả sử 1.2 đúng. Theo định lý hàm số sin trong tam giác ABD và tam giác ACD ta có:
Do đó:

(4)
Tương tự, ta cũng có:
(5)

(6)
Nhân từng vế của (4), (5), (6) ta được 1.3.
Giả sử 1.3 đúng, ta gọi

Theo 1.1 và 1.2, ta có:
hay:

Do đó




CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho (ABC có trung tuyến AM. Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI. Đường thẳng BI cắt AC tại P. Chứng minh rằng: PA = 2PC
Lời giải.
Áp dụng định lí Menelaus cho (AMC với cát tuyến BIP ta có:

Suy ra:
nên PA = 2PC
Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho bài toán này dẫn đến lời giải hay và rất ngắn gọn.

/

Bài 2. Cho (ABC. Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC
Lời giải.
Áp dụng định lí Ceva cho (ABC với các đường đồng quy là AD, BF và CE ta có
Vì BD = CD nên

suy ra
Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC
Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các
dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
thông thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh. Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi là
và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.

Bài 3. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy.