BT hình học cao cap

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ


Bài 2: Hệ tiên đề K gồm: điểm, đường, thuộc
Khái niệm cơ bản
Các tiên đề:
Có ít nhất một điểm
Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường
Mỗi đường có ba điểm phân biệt
Mỗi điểm mằn trên ba đường phân biệt
Chứng minh các định lý:
Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung
Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường
Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín đỉểm, chín đường
GIẢI:
Chứng minh
Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung:
Thật vậy, niếu hai đường phân biệt a và b có hai điểm
chung (phân biệt) P và Q có hai đường phân biệt a và b, trái với tiên đề ii.
Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường:
Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm, ta kí hiệu đó là điểm A. Theo tiên đề iv) điểm A nằm trên ba đường thẳng phân biệt, ta kí hiệu đó là x,y,z. Theo tiên đề iii) trên đường x ngoài điểm A còn có hai điểm khác đó là B và C khác nhau và khác với A , tương tự trên y còn có hai điểm khác nữa là D và E khác nhau và khác A, trên z còn có hai điểm khác nữa là G và F khác nhau và khác A. Mặc khác, hai đường thẳng phân biệt không có quá một điểm chung nên các điểm B, C, D, E, G, F điều là đôi một phân biệt và khác với điểm A. Vậy có ít nhất là 7 điểm.
Ta đã có ba đường phân biệt x, y, z. Theo tiiên đề iv) ta còn có hai đường nữa là u và v khác nhau và khác với x, qua C ta còn có hai đường nữa đó là w và t khác nhau và khác với x. Do tiên đề ii) ta có bảy đường là x, y, z, u, v, w, t đôi một phân biệt. Vậy có tấc cả là bảy đường.
Xây dựng các mô hình của K:
Gồm bảy điểm, bảy đường:
Lấy một tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF,cắt nhau tại G. Ta xem A, B, C, D,E, F, G là điểm, còn các đường là các bộ ba sau đây: {A, B, F}, {B, C, D}, { C, A, E}, {A, D, G}, {B, E, G}, {C, F, G}, {D, E, F}.
Gồm chín đỉểm, chín đường
Ta lấy chín điểm phân biệt nào đó: A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2 , C mỗi bộ ba sau đây xem là một đường: {A1, B1, C1},
{A1, B2, C3}, {A1, B2, C3}, {A1, B3, C2}, { A2, B2, C2},
{A2, B2, C2}
, {A2, B1, C3}, {A2, B3, C1}, {A3, B3, C3}, {A3, B1, C2} và
{ A3, B2, C1 }.

BÀI 4: Hãy dùng hệ tiên đề hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau.
Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.
Cho bốn điểm phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh niếu C nằm giữa A và B còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D.
Định lí Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe)

GIẢI
Chứng minh: Theo tiên đề 1, ta có ít nhất hai a và b nào đó. Cũng theo tiên đề 1, trên a có ít nhất hai điêm A và B. Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B, vì niếu thế nó trùng với a, theo tiên đề 2. Vây trên b có ít mhất là một điểm C không nằm trên a. Vậy có ít nhất là ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chứng minh: Ta hãy chứng minh C nằ giữa A và D: ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A, B, C, D. Theo tiên đề 4, điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp, mà ta gọi là X và Y, vì C nằm giữa A và B nên A và B phải thuộc hai tập hợp khác nhau, giả sử A
X và B
Y. Theo giả thiết D nằm giữa B và C nên