BT hình học Afin

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Bài 2: Hệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc
+ Khái niệm cơ bản
+ Các tiên đề :
i) có ít nhất một điểm
ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.
iii)mỗi đường có ba điểm phân biệt.
iv)Mỗi điểm nằ trên ba đường phân biệt
a.Chứng minh các định lý:
+ Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung.
+ Có ít nhất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường.
b.Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín điểm,chín đường.
Giải
a.Chứng minh
+ Hai đường phân biệt có không qía một điểm chung.
Nếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung là A và B
thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii))
+ Có ít nhất là bảy điểm ,bảy đường
Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có ba đường phân biệt x,y,z qua A.
Theo tiên đè iii) trên x ngoài biến A còn có 2 điểm phân biệt nửa B,C
Tương tự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E
Trên z ngoài A có 2 điểm phân biệt G,H
Theo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểm chung

Bảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau.
Theo tiên đề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt .Nên ngoài x qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v.
Tương tự :ngoài x qua C còn có 2 đường :

Theo tiên đề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

Bảy đường
đôi một phân biệt và khác nhau.
b.+ Mô hình K gồm bảy điểm ,bảy đường.
Xét
có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G.
Ta có: bảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H.
Ta gọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm


+ Mô hình K gồm chín điểm ,chín đường.
Ta lấy 9 điểm phân biệt :
.
Mỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:


Bài 4: Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở phổ thông để chứng minh các định lý sau đây.
a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.
b. Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt và thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D.
c. Định lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe).
Giải
Chứng minh:
a.Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.
Theo tiên đề 1,ta có ít nhất là hai đường thẳng a và b nào đó.
Cũng theo tiên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B.
Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với đường thẳng a,theo tiên đề 2.
Vậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a.
Vậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng.
b.Ta chứng minh C ở giữa A và D.
Ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D.
Theo tiên đề 4,điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y
Vì C ở giữa A và B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau.
Gỉa sử

Theo giả thiết D ở giữa B và C nên theo tiên đề 3 C không ở giữa B và D
Do
và


C ở giữa A và D
Chứng minh D ở giữa A và B
Điểm D chia các điểm của a thành hai tập hợp kí hiệu là

Theo giả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nhau.
Giả sử

Theo chứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C ở giữa A và D nên D