Bồi dưỡng HSG toán 9

Buổi 1
CHUYÊN ĐỀ 1:
PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 1: Giải phương trình

Bổ đề : Với


Giải: Điều kiện :
, Ta có
mà
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
. Vậy phương trình có nghiệm x = 6
Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.

Bài toán 2: Giải phương trình:

Vì
và
nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta được:
(1)

(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
nên theo đề ta có :
. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 thoả . Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài toán 3: Giải phương trình:
(1)
Điều kiện tồn tại phương trình:
(*)
Vế phải của (1):
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) thì vế trái của phương trình (1):

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.
Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) là 2 nên x = 2 là nghiệm của phương trình.

Bài toán 4: Giải phương trình:
. (1)
Giải: Điều kiện
(2).
Vế trái của phương trình (1):
với mọi x
. đẳng thức xảy ra khi x = 1. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với mọi x thoả mãn (2) thì vế phải của phương trình (1) thoả:

. đẳng thức xảy ra khi
. Để đẳng thức xảy ra ở phương trình (1) thì cả hai vế của phương trình (1) đều bằng 2. Nên x = 1. Thử lại thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Bài toán 5: Giải phương trình:
(1)
Giải:
Điều kiện
Do
với mọi x nên

Đặt
;
với
. Nên phương trình (1) trở thành :

Giải phương trình này được
hoặc

Với
thì phương trình (1) vô nghiệm
Với
thì
. Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện
;
.

Bài toán 6: Giải phương trình:
(1)
Phương trình (1) có nghĩa khi x < 5 nên








vì
> 0 nên
. Thử lại đúng nên nghiệm của phương trình là
.

Bài toán 7: Giải phương trình:
(1)
Điều kiện để phương trình có nghĩa là :
. Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:






. Giải phương trình này được
. Thử lai chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 6 thoả mãn đề cho.

Bài toán 8: Giải phương trình:
(1)
Điều kiện x > -2 và
. Nhân hai vế của phương trình (1) với
ta được:









Do x > -2 nên x = -4 (loại). Vậy nghiệm của phương trình x = -1.
Cách giải khác:
Đặt
;
nên
.Do đó phương trình (1) trở thành:
(*)
Từ hệ (*) suy ra


khi đó ta cũng có x = -1.

Bài toán 9: Giải phương trình:
(1)
Giải: Điều kiện
(*).
Đặt
;

. Nên phương trình (1) trở thành

Nếu b = 1 thì
so với điều kiên (*)
thoả
Nếu a = 4 thì
so với điều kiên (*)
thoả.
Vậy phương trình có nghiệm là
.

Bài toán 10: Giải phương trình:
(*)
Lập phương hai vế của phương trình (*) ta được:



hoặc
. Thử lại ta thấy phương trinh có đúng ba nghiệm trên.

Bài toán 11: Giải phương trình
(1)
Điều kiện:
. Đặt
;

;
nên phương trình (1) trở thành



Nếu a = 1 thì

Nếu b = 1 thì
.
Vậy x = 0 là một nghiệm của phương trình.

Bài toán 11: Giải phương trình
(1)
Giải: TXĐ
. Đặt
;
. Nên phương trình đã cho trở thành:


Nên
Do đó

Nếu
thì
;