BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC PHẲNG - TOÁN CỰC TRỊ

CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Kiến thức trọng tâm

A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.
1- Hướng giải bài toán cực trị hình học :
a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số )
+Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m
b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được :
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số )
+Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m
2 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .
+ Cách1 :Trong các hình có tính chất của đề bài,chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.
+ Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O).Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
Giải :
+Cách 1 :
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1).
Kẻ OH ( CD .
(OHP vuông tại H ( OH < OP ( CD > AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài nhỏ nhất .

+Cách 2 :
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ( AB
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất ( OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP
OH = OP ( H ≡ P
Do đó maxOH = OP
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học.

Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc , đường xiên , hình chiếu .
a-Kiến thức cần nhớ:



a1) (ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ( AB ≤ BC .
Dấu “=” xảy ra ( A ≡ C . ( h.3 )
a2) ( h.4 )
+ AH ( a ( AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra ( B ≡ H .
+ AB < AC ( HB < HC
a3)( h.5 )
A,K (a; B, H (b; a // b ; HK ( a ( HK ≤ AB
Dấu “=” xảy ra ( A ≡ K và B ≡ H .

b-Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm ,hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó.
Giải :







Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH ( AC .
Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH
Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :
SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2)
SABCD = 24 cm2 ( BH ≡ BO ( H ≡ O ( BD (AC
Vậy max SABCD = 24 cm2 . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2.

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .
Giải :
(HAE = (EBF = (FCG = (GHD
( HE = EF = FG = GH
( EFGH là hình thoi .


(
(

(

( EFGH là hình vuông
Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình