BỒI DƯỠNG BẤT ĐẲNG THỨC

A/ KIẾN THỨC CẦN NẮM
I/ ĐỊNH NGHĨA:
Với A, B là 2 biểu thức bất kì:
A >B <=> A – B > 0 A < B <=> A – B < 0
A B <=> A – B 0 A B <=> A – B 0
+ Nếu A > B => C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
+ Nếu A > B <=> C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng thức tương đương.

II/ TÍNH CHẤT:
1/ A >B <=> B < A
2/ A >B và B > C => A > C
3/ A >B <=> A + C >B + C Hệ quả A >B + C <=> A – C > B
4/ A >B và C > D => A + C > B + D
A > B và C < D => A – C > B – D
5/ A > B và C > 0 <=> AC > BC
A > B và C < 0 <=> AC < BC
6/ A > B > 0 và C > D > 0 => AC > BD
7/ A > B > 0, n nguyên dương => An > Bn
8/ A > B > 0, n nguyên dương => Hệ quả: a2 b2 <=> a b <=> a,b0)
9/ A > B, AB > 0 =>
10/ A > 1, m và n nguyên dương, m > n => Am > An
0 < A < 1, m và n nguyên dương, m > n => Am < An













III/ CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC THỪA NHẬN:
a: a2 0; -a2 0; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
-|a| a |a|; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
|a| 0 ; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
ai 0 (i = 1, 2, …, n; n N*) => a1 + a2 + … + an 0













BÀI TẬP
Bài 1: Cho x, y là 2 số thực bất kỳ khác không. CMR : + + 3. dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Cho cặp số (x, y) thoả mãn các điều kiện: -1 x 1; -1xy + x + y 1> Chứng minh rằng: |x| 2; |y| 2
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: + + < + +
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực tuỳ ý thoả mãn:
CMR: x2 + y4 + c6 2. Đẳng thức có thể xảy ra được không?
Bài 5: Với a, b là các số thực dương. CMR: 4(a3 + b3) (a + b)3
Bài 6: Cho a và b là 2 số dương. Biết rằng phương trình: x3 – x2 + 3ax – b = 0; có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt). CMR: + 27b 28
Bài 7: 1/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a, b, c
2/ x4 + y4 + z4 xyz(x + y + z) x, y, z
Bài 8: x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 3
Bài 9: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Bài 10: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: |x + y|
Bài 11: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức: + + = 6. Xét biểu thức P = x + y2 + z3
a/ Chứng minh: P x + 2y + 3z – 3
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho a, b, c > 1. Chứng minh+ 12. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 13: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx +