Bổ túc toán 6

Automata đẩy xuống
(Push Down Automata)
Nội dung:
Khái niệm về PDA
PDA đơn định và không đơn định
PDA chấp nhận chuỗi bằng Stack rỗng và PDA chấp nhận chuỗi bằng trạng thái kết thúc
Sự tương đương giữa PDA và CFL
Chương 6:
1
2
PDA
Ta đã biết:
Lớp ngôn ngữ chính quy được sinh ra từ văn phạm chính quy và được đoán nhận bởi automata hữu hạn
Lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh được sinh ra từ văn phạm phi ngữ cảnh → câu hỏi: CFL có thể được đoán nhận bởi một automata không? automata đó như thế nào?
Mô tả: gồm các thành phần của một automata hữu hạn với sự bổ sung thêm một ngăn xếp làm việc (Stack)
3
PDA
Ví dụ: xét L = {wcwR | w  (0 + 1)*} được sinh ra từ CFG
S → 0S0 | 1S1 | c

Ta xây dựng PDA như sau:
Bộ điều khiển có 2 trạng thái q1 và q2
Stack có 3 ký hiệu: xanh (B), vàng (Y) và đỏ (R)
Quy tắc thao tác trên automata:
4
PDA
Các khái niệm:
Phân loại PDA: đơn định (DPDA) và không đơn định (NPDA)
Phép chuyển: có 2 kiểu
Phụ thuộc ký hiệu nhập: với một trạng thái, một ký hiệu tại đỉnh Stack và một ký hiệu nhập, PDA lựa chọn trạng thái kế tiếp, thay thế ký hiệu trên Stack và di chuyển đầu đọc trên băng nhập.
Không phụ thuộc ký hiệu nhập (ε – dịch chuyển): ký hiệu nhập không được dùng, đầu đọc không di chuyển.
Ngôn ngữ được chấp nhận bởi PDA
Bởi Stack rỗng
Bởi trạng thái kết thúc
Một ngôn ngữ được chấp nhận bởi PDA khi và chỉ khi nó là một ngôn ngữ phi ngữ cảnh.
5
PDA
Định nghĩa: một PDA M là một hệ thống 7 thành phần
M (Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F)
Q : tập hữu hạn các trạng thái
Σ : bộ chữ cái nhập
Γ : bộ chữ cái Stack
δ : hàm chuyển Q x (Σ  {ε}) x Γ → tập con của Q x Γ*
q0 : trạng thái khởi đầu
Z0 : ký hiệu bắt đầu trên Stack
F  Q : tập các trạng thái kết thúc (nếu PDA chấp nhận chuỗi bằng Stack rỗng thì F = Ø)
6
PDA
Hàm chuyển δ:
Hàm chuyển phụ thuộc ký hiệu nhập
δ(q, a, Z) = { (p1, γ1), (p2, γ2), ..., (pm, γm) }
Hàm chuyển không phụ thuộc ký hiệu nhập
δ(q, ε, Z) = { (p1, γ1), (p2, γ2), ..., (pm, γm) }

Ví dụ: PDA chấp nhận wcwR bằng Stack rỗng
1) δ(q1, 0, R) = {(q1, BR)} 7) δ(q1, c, R) = {(q2, R)}
2) δ(q1, 1, R) = {(q1, YR)} 8) δ(q1, c, B) = {(q2, B)}
3) δ(q1, 0, B) = {(q1, BB)} 9) δ(q1, c, Y) = {(q2, Y)}
4) δ(q1, 1, B) = {(q1, YB)} 10) δ(q2, 0, B) = {(q2, ε)}
5) δ(q1, 0, Y) = {(q1, BY)} 11) δ(q2, 1, Y) = {(q2, ε)}
6) δ(q1, 1, Y) = {(q1, YY)} 12) δ(q2, ε, R) = {(q2, ε)}
7
PDA
Hình thái (ID): dùng để ghi nhớ trạng thái và nội dung của Stack
(q, aw, Zα) ⊢M (p, w, βα) nếu δ(q, a, Z) chứa (p, β)
Ngôn ngữ chấp nhận bởi PDA:
Ngôn ngữ được chấp nhận bằng trạng thái kết thúc
L (M) = {w | (q0, w, Z0) ⊢* (p, ε, γ) với p  F và γ  Γ*}
Ngôn ngữ được chấp nhận bởi Stack rỗng
N (M) = {w | (q0, w, Z0) ⊢* (p, ε, ε) với p  Q}
Ví dụ: PDA chấp nhận wcwR bằng Stack rỗng với chuỗi nhập 001c100
(q1, 001c100, R) ⊢ (q1, 01c100, BR) ⊢ (q1, 1c100, BBR) ⊢
(q1, c100, YBBR) ⊢ (q2, 100, YBBR) ⊢ (q2, 00, BBR) ⊢
(q2, 0, BR) ⊢ (q2, ε, R) ⊢ (q2, ε, ε) : Chấp nhận
8
PDA không đơn định (NPDA)
Ví dụ: thiết kế PDA chấp nhận {wwR | w  (0 + 1)*} bằng Stack rỗng
Không có ký hiệu c để biết thời điểm chuyển từ trạng thái q1 sang q2
Bắt buộc phải đoán thử (khi thấy 2 ký hiệu liên tiếp giống nhau)
Nếu ký hiệu thuộc chuỗi xuôi : giữ nguyên trạng thái q1 và push vào Stack
Nếu ký hiệu thuộc chuỗi ngược : chuyển sang trạng thái q2 và pop khỏi Stack


M({q1, q2}, {0, 1}, {R, B, Y}, δ, q1, R, Ø):

1) δ(q1, 0, R) = {(q1, BR)} 6) δ(q1, 1, Y) = {(q1, YY),(q2, ε)}
2) δ(q1, 1, R) = {(q1,YR)} 7) δ(q2, 0, B) = {(q2, ε)}
3) δ(q1, 0, B) = {(q1, BB), (q2, ε)} 8) δ(q2, 1, Y) = {(q2, ε)}
4) δ(q1, 0, Y) = {(q1, BY)} 9) δ(q1, ε, R) = {(q2, ε)}
5) δ(q1, 1, B) = {(q1, YB)} 10) δ(q2, ε, R) = {(q2, ε)}
9
PDA không đơn định (NPDA)
Ví dụ: các phép chuyển hình thái của PDA chấp nhận chuỗi 001100 thuộc ngôn ngữ {wwR | w  (0 + 1)*} bằng Stack rỗng
Khởi đầu

(q1, 001100, R)

(q1, 01100, BR)  (q2, 1100, R)  (q2, 1100, ) : Không chấp nhận

(q1, 1100, BBR)

(q1, 100, YBBR)  (q2, 00, BBR)
 
(q1, 00, YYBBR) (q2, 0, BR)  (q2, , R)  (q2, , ) : Chấp nhận

(q1, 0, BYYBBR)  (q2, , YYBBR) : Không chấp nhận

(q1, , BBYYBBR) : Không chấp nhận
10
PDA đơn định (DPDA)
Định nghĩa: một PDA M(Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F) được gọi là đơn định nếu:
q  Q và Z  Γ: nếu δ(q, ε, Z) ≠ Ø thì δ(q, a, Z) = Ø với a  Σ
Không có q  Q, Z  Γ và a  (Σ  {ε}) mà δ(q, a, Z) chứa nhiều hơn một phần tử

Chú ý: đối với PDA thì dạng đơn định và không đơn định là không tương đương nhau.
Ví dụ: wwR được chấp nhận bởi PDA không đơn định, nhưng không được chấp nhận bởi bất kỳ một PDA đơn định nào.
11
Tương đương giữa PDA với Stack rỗng và PDA với trạng thái kết thúc
Định lý 6.1: Nếu một ngôn ngữ phi ngữ cảnh L được chấp nhận bởi một PDA chấp nhận chuỗi bởi trạng thái kết thúc M2 thì L cũng được chấp nhận bởi một PDA chấp nhận chuỗi bởi Stack rỗng M1
Cách xây dựng:
Đặt M2(Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F) và M1(Q  {qe, q0`}, Σ, Γ, δ`, q0`, X0, Ø)
δ`(q0`, ε, X0) = {(q0, Z0X0)}
δ`(q, a, Z) chứa mọi phần tử của δ(q, a, Z) với a  (Σ  {ε})
δ`(q, ε, Z) chứa (qe, ε) với q  F và Z  (Γ  {X0})
δ`(qe, ε, Z) chứa (qe, ε) với Z  (Γ  {X0})
12
Tương đương giữa PDA với Stack rỗng và PDA với trạng thái kết thúc
Định lý 6.2: Nếu một ngôn ngữ phi ngữ cảnh L được chấp nhận bởi một PDA chấp nhận chuỗi bởi Stack rỗng M1 thì L cũng được chấp nhận bởi một PDA chấp nhận chuỗi bởi trạng thái kết thúc M2
Cách xây dựng:
Đặt M1(Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, F)
và M2(Q  {q0`, qf}, Σ, Γ  {X0}, δ`, q0`, X0, {qf})
δ`(q0`, ε, X0) = {(q0, Z0X0)}
δ`(q, a, Z) = δ(q, a, Z) với a  (Σ  {ε})
δ`(q, ε, X0) chứa (qf, ε) với q  Q
13
Tương đương giữa PDA và CFL
Định lý 6.3: Nếu L là một ngôn ngữ phi ngữ cảnh thì tồn tại PDA chấp nhận chuỗi với Stack rỗng M sao cho L = N(M)
Cách xây dựng:
Đặt G(V, T, P, S) thỏa dạng chuẩn Greibach và L(G) không chứa ε
δ`(q, a, A) = (q, γ) khi và chỉ khi A → aγ
Đặt M({q}, T, V, δ, q, S, Ø) là PDA chấp nhận L với Stack rỗng
14
Tương đương giữa PDA và CFL
Định lý 6.4: Nếu L được chấp nhận bởi một PDA chấp nhận chuỗi bởi Stack rỗng thì L là ngôn ngữ phi ngữ cảnh
Cách xây dựng:
Đặt G(V, T, P, S) là CFG, trong đó:
V là tập các đối tượng dạng [q, A, p]
Đặt PDA M(Q, Σ, Γ, δ, q0, Z0, Ø) chấp nhận L với Stack rỗng
S là ký hiệu bắt đầu mới được thêm vào
P là tập các luật sinh dạng
1. S → [q0, Z0, q] với q  Q
2. [q, A, qm+1] → a [q1, B1, q2][q2, B2, q3]...[qm, Bm, qm+1]
sao cho δ(q, a, A) có chứa (q1, B1B2...Bm)
Nếu m = 0 thì luật sinh có dạng [q, A, q1] → a
15
Tương đương giữa PDA và CFL
Ví dụ: xây dựng CFG tương đương sinh ra ngôn ngữ được chấp nhận bởi PDA M({q0, q1}, {0, 1}, {Z0, X}, δ, q0, Z0, Ø) với δ như sau:
1. δ(q0, 0, Z0) = {(q0, XZ0)}
2. δ(q0, 0, X) = {(q0, XX)}
3. δ(q0, 1, X) = {(q1, ε)}
4. δ(q1, 1, X) = {(q1, ε)}
5. δ(q1, ε, X) = {(q1, ε)}
6. δ(q1, ε, Z0) = {(q1, ε)}
Xây dựng: CFG G(V, {0, 1}, P, S)
1. Tập các biến V = [q, A, p]  S
= { S, [q0, X, q0], [q0, X, q1], [q1, X, q0], [q1, X, q1],
[q0, Z0, q0], [q0, Z0, q1], [q1, Z0, q0], [q1, Z0, q1] }
2. Tập các luật sinh P
S → [q0, Z0, q0] | [q0, Z0, q1]
δ1) [q0, Z0, q0] → 0 [q0, X, q0] [q0, Z0, q0] | 0 [q0, X, q1] [q1, Z0, q0]
[q0, Z0, q1] → 0 [q0, X, q0] [q0, Z0, q1] | 0 [q0, X, q1] [q1, Z0, q1]
16
Tương đương giữa PDA và CFL
δ2) [q0, X, q0] → 0 [q0, X, q0] [q0, X, q0] | 0 [q0, X, q1] [q1, X, q0]
[q0, X, q1] → 0 [q0, X, q0] [q0, X, q1] | 0 [q0, X, q1] [q1, X, q1]
δ3) [q0, X, q1] → 1
δ4) [q1, X, q1] → 1
δ5) [q1, X, q1] → ε
δ6) [q1, Z0, q1] → ε
Đặt: [q0, X, q0] = A, [q0, X, q1] = B, ..., [q0, Z0, q0] = E, ..., [q1, Z0, q1] = H
S → E | F
E → 0AE | 0BG
F → 0AF | 0BH
A → 0AA | 0BC
B → 0AB | 0BD | 1
D → ε | 1
H → ε
Ta có luật sinh:
Giản lược văn phạm:
S → F
F → 0BH
B → 0BD | 1
D → ε | 1
H → ε
S → 0B
B → 0B | 0B1 | 1