Bổ túc toán 5

Văn phạm phi ngữ cảnh
(Context Free Grammar)
Nội dung:
Văn phạm phi ngữ cảnh (CFG)
Giản lược văn phạm phi ngữ cảnh
Chuẩn hóa văn phạm phi ngữ cảnh
Các tính chất của văn phạm phi ngữ cảnh
Chương 5:
Văn phạm phi ngữ cảnh
Định nghĩa: là hệ thống gồm 4 thành phần G(V, T, P, S)
V : tập hữu hạn các biến (ký tự chưa kết thúc)
T : tập hữu hạn các ký tự kết thúc (V  T = Ø)
P : tập hữu hạn các luật sinh dạng A ((VT)*)
S : ký hiệu bắt đầu của văn phạm
S  AB
A  aA
A  a
B  bB
B  b

S  AB
A  aAa
B  bBb



hay

Quy ước:
V: chữ in hoa (A, B, C, ..); T: chữ in thường (a, b, c, .., w, x, y..)
, , , .. biểu diễn chuỗi ký hiệu kết thúc và biến
Ví dụ: G=({S, A, B}, {a, b}, P, S) với P gồm các luật sinh:
Dẫn xuất và ngôn ngữ
Dẫn xuất:
Nếu A  là luật sinh trong văn phạm G và ,  là 2 chuỗi bất kỳ, thì khi áp dụng luật sinh A  vào chuỗi A ta sẽ thu được chuỗi  :
AG 
Giả sử: 1G 2, 2G 3, ..., m-1G m, ta có:
1*G m
Ta có: *G  với mọi chuỗi 
Thông thường, ta sẽ dùng  và * thay cho G và *G

Ngôn ngữ sinh bởi CFG: cho CFG G(V, T, P, S)
L(G) = { ww  T* và S *G w }
(chuỗi w gồm toàn ký hiệu kết thúc và được dẫn ra từ S)
Cây dẫn xuất
Định nghĩa: cây dẫn xuất (hay cây phân tích cú pháp) của một văn phạm G(V, T, P, S) có đặc điểm
Mỗi nút có một nhãn, là một ký hiệu  (V T {ε} )
Nút gốc có nhãn là S (ký hiệu bắt đầu)
Nếu nút trung gian có nhãn A thì A  V
Nếu nút n có nhãn A và các đỉnh n1, n2, ..., nk là con của n theo thứ tự từ trái sang phải có nhãn lần lượt là X1, X2, ..., Xk thì A  X1X2...Xk là một luật sinh trong P
Nếu nút n có nhãn là ε thì n phải là nút lá và là nút con duy nhất của nút cha của nó
Cây dẫn xuất
Ví dụ: xét văn phạm G({S, A}, {a, b}, P, S}, với P gồm:
S  aASa
A  SbASSba
Một dẫn xuất của G:
S  aAS  aSbAS  aabAS  aabbaS  aabbaa
Định lý 5.1: nếu G(V, T, P, S) là một CFG thì S *  nếu và chỉ nếu có cây dẫn xuất trong văn phạm sinh ra .
Dẫn xuất trái nhất - Dẫn xuất phải nhất
Dẫn xuất trái nhất (phải nhất): nếu tại mỗi bước dẫn xuất, luật sinh được áp dụng vào biến bên trái nhất (phải nhất)

Ví dụ: xét văn phạm G với luật sinh:
S  AB
A  aAa
B  bBb
Các dẫn xuất khác nhau cho từ aaabb:
S  AB aAB  aaAB  aaaB  aaabB  aaabb
S  AB AbB  Abb  aAbb  aaAbb  aaabb
S  AB aAB  aAbB  aAbb  aaAbb  aaabb
S  AB aAB  aaAB  aaAbB  aaabB  aaabb
Dẫn xuất (a) là dẫn xuất trái nhất, (b) là dẫn xuất phải nhất
Các dẫn xuất tuy khác nhau, nhưng có cùng một cây dẫn xuất
Văn phạm mơ hồ
Khái niệm: một văn phạm phi ngữ cảnh G được gọi là văn phạm mơ hồ (ambiguity) nếu nó có nhiều hơn một cây dẫn xuất cho cùng một chuỗi w.

Ví dụ: xét văn phạm G với luật sinh:
E  E + E E * E (E) a
Với chuỗi a + a * a, ta có thể vẽ đến 2 cây dẫn xuất khác nhau
Điều này có nghĩa là biểu thức a + a * a có thể hiểu theo 2 cách khác nhau: (a + a) * a hoặc a + (a * a)
Văn phạm mơ hồ
Khắc phục văn phạm mơ hồ:
Quy định rằng các phép cộng và nhân luôn được thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải (trừ khi gặp ngoặc đơn)
E  E + T  E * T  T
T  (E)  a
Quy định rằng khi không có dấu ngoặc đơn ngăn cách thì phép nhân luôn được thực hiện ưu tiên hơn phép cộng
E  E + T  T
T  T * F  F
F  (E)  a
Giản lược văn phạm phi ngữ cảnh
Trong CFG có thể chứa các yếu tố thừa:
Các ký hiệu không tham gia vào quá trình dẫn xuất ra chuỗi ký hiệu kết thúc
Luật sinh dạng A  B (làm kéo dài chuỗi dẫn xuất)

 giản lược văn phạm nhằm loại bỏ những yếu tố vô ích, nhưng không được làm thay đổi khả năng sản sinh ngôn ngữ của văn phạm

Mỗi biến và mỗi ký hiệu kết thúc của văn phạm đều xuất hiện trong dẫn xuất của một số chuỗi trong ngôn ngữ
Không có luật sinh A  B (với A, B đều là biến)
Nếu ngôn ngữ không chấp nhận chuỗi rỗng ε thì không cần luật sinh A  ε .
Các ký hiệu vô ích
Khái niệm: một ký hiệu X được gọi là có ích nếu có một dẫn xuất
S * X* w
với ,  là các chuỗi bất kỳ và w  T*.

 có 2 đặc điểm cho ký hiệu có ích

X phải dẫn ra chuỗi ký hiệu kết thúc
X phải nằm trong dẫn xuất từ S
Các ký hiệu vô ích
Bổ đề 1: (loại bỏ các biến không dẫn ra chuỗi ký hiệu kết thúc)
Cho CFG G(V, T, P, S) với L(G) ≠ Ø, có một CFG G`(V`, T`, P`, S) tương đương sao cho mỗi A  V` tồn tại w  T* để A * w

Giải thuật tìm V`:
Begin
(1) OldV` := ;
(2) NewV` := { A A  w với w  T* };
(3) While OldV`  NewV` do
begin
(4) OldV` := NewV`;
(5) NewV` := OldV`  {A  A   với   (T  OldV`)* }
end;
(6) V` := NewV`;
End;
Các ký hiệu vô ích
Bổ đề 2: (loại bỏ các biến không được dẫn ra từ ký hiệu bắt đầu)
Cho CFG G(V, T, P, S), ta có thể tìm được CFG G`(V`, T`, P`, S) tương đương sao cho mỗi X  (V`  T`) tồn tại ,   (V`  T`)* để S * X

Cách tìm:
Đặt V` = {S}
Nếu A  V` và A 12n là các luật sinh trong P thì
Thêm các biến của 1,2, n vào V`
Lặp lại cho đến khi không còn biến nào được thêm vào nữa
Các ký hiệu vô ích
Định lý 5.2: mỗi ngôn ngữ phi ngữ cảnh (CFL) không rỗng được sinh ra từ một văn phạm phi ngữ cảnh (CFG) không có ký hiệu vô ích

Ví dụ: xét văn phạm S → A
A → aBb | ε
B → A | cB | cC
C → AC | BCD
D → ab

Áp dụng bổ đề 1:
V` = {S, A, B, D}
S → A
A → aBb | ε
B → A | cB
D → ab
Áp dụng bổ đề 2:
V` = {S, A, B}
S → A
A → aBb | ε
B → A | cB
Luật sinh ε
Định lý 5.3: (loại bỏ luật sinh A  ε)
Cho CFG G(V, T, P, S) và L là ngôn ngữ sinh ra bởi G. Khi đó L – {ε} là ngôn ngữ sinh ra bởi CFG G`(V, T, P`, S) không có ký hiệu vô ích và không có luật sinh ε.

Cách tìm:
Bước 1: xác định tập biến rỗng Nullable
A  ε  A  Nullable
B  X1X2...Xn, Xi  Nullable  B  Nullable
Bước 2: xây dựng tập luật sinh P`
Với mỗi luật sinh A  X1X2...Xn trong P, ta xây dựng luật sinh
A 12n với điều kiện:
Nếu Xi  Nullable thì i = Xi
Nếu Xi  Nullable thì i = Xi ε
Không phải tất cả i đều bằng ε
Luật sinh ε
Ví dụ: loại bỏ luật sinh ε trong văn phạm sau:
S  AB
A  aA ε
B  bB ε

Bước 1: xác định tập biến rỗng Nullable
A  ε  A  Nullable
B  ε  B  Nullable
S  AB  S  Nullable

Bước 2: xây dựng tập luật sinh P`
S  AB Aε εB
A  aA aε
B  bB bε

Chú ý: văn phạm G` không chấp nhận chuỗi rỗng ε như văn phạm G. Để G` tương đương G, ta cần thêm luật sinh S ε vào G`.

Luật sinh đơn vị
Định lý 5.4: (loại bỏ luật sinh A  B)
Mỗi CFL không chứa ε được sinh ra bởi CFG không có ký hiệu vô ích, không có luật sinh ε hoặc luật sinh đơn vị.

Cách tìm: đặt L=L(G) là CFL không chứa ε và được sinh ra bởi văn phạm G(V, T, P, S). Theo định lý 3, ta có thể loại bỏ tất cả luật sinh ε trong G.

Để loại bỏ luật sinh đơn vị, ta xây dựng tập P` mới theo giải thuật:

For (mỗi biến A  V) do
Begin
Tính ΔA = { B  B  V và A * B } ;
For (mỗi biến B  ΔA) do
For (mỗi luật sinh B  thuộc P) do
If (B  không là luật sinh đơn vị) then
Thêm luật sinh A  vào P`
End ;
Luật sinh đơn vị
Ví dụ: loại bỏ luật sinh đơn vị trong văn phạm
E  E + T  T
T  T * F  F
F  (E)  a

Ta có: ΔE = {E, T, F}  thêm vào P` các luật sinh
E  E + T T * F  (E)  a
Tương tự:
ΔT = {T, F}  thêm vào P` : T  T * F (E)  a
ΔF = {F}  thêm vào P` : F  (E)  a
Dạng chuẩn Chomsky (CNF)
Định lý 5.5: một ngôn ngữ phi ngữ cảnh bất kỳ không chứa ε đều được sinh ra bằng một văn phạm nào đó mà các luật sinh có dạng A  BC hoặc A  a, với A, B, C là biến và a là ký hiệu kết thúc.

Cách tìm: giả sử CFL L=L(G) với CFG G(V, T, P, S)
Bước 1: thay thế tất cả các luật sinh có độ dài vế phải là 1
Áp dụng định lý 4.4 để loại bỏ luật sinh đơn vị và ε
Bước 2: thay thế tất cả luật sinh có độ dài vế phải lớn hơn 1 và có chứa ký hiệu kết thúc



Bước 3: thay thế các luật sinh mà vế phải có nhiều hơn 2 ký hiệu chưa kết thúc
A  X1X2...Xi...Xn
a
A  X1X2...Ca...Xn

Ca  a
Dạng chuẩn Chomsky (CNF)
Ví dụ: tìm văn phạm có dạng CNF tương đương văn phạm sau:
S  A  ABA
A  aA  a  B
B  bB  b

Bước 1: Δs = {S, A, B} , ΔA = {A, B} , ΔB = {B}
S  aA  a bB  b  ABA
A  aA  a  bB  b
B  bB  b
Bước 2: thay a bằng Ca và b bằng Cb trong các luật sinh có độ dài vế phải > 1: S  CaA  a CbB  b  ABA
A  CaA  a  CbB  b
B  CbB  b
Ca  a
Cb  b
Dạng chuẩn Chomsky (CNF)

Bước 3: thay thế các luật sinh có độ dài vế phải > 2:
S  CaA  a CbB  b  AD1
A  CaA  a  CbB  b
B  CbB  b
Ca  a
Cb  b
D1  BA
Dạng chuẩn Greibach (GNF)
Bổ đề 3: (thay thế các luật sinh trực tiếp)
Cho G(V, T, P, S) là một CFG, đặt A 1B2 là luật sinh trong P và B 12...r là các B - luật sinh; văn phạm G1(V, T, P1, S) thu được từ G bằng cách loại bỏ luật sinh A 1B2 và thêm vào luật sinh A 1121221r2 tương đương G

Bổ đề 4: (dùng loại bỏ văn phạm đệ quy trái)
Đặt G(V, T, P, S) là CFG; A A1A2Ar là tập các A – luật sinh có A là ký hiệu trái nhất của vế phải (luật sinh đệ quy trái). Đặt A 12...s là các A - luật sinh còn lại; G1(V {B}, T, P1, S) là CFG được tạo thành bằng cách thêm biến mới B vào V và thay các A - luật sinh bằng các luật sinh dạng:
Thì ta có G1 tương đương G, hay L(G) = L(G1)
Dạng chuẩn Greibach (GNF)
Định lý 5.6: mỗi CFL bất kỳ không chứa ε được sinh ra bởi một CFG mà mỗi luật sinh có dạng A a với A là biến, a là ký hiệu kết thúc và là một chuỗi các biến (có thể rỗng)

Đặt G là CFG sinh ra CFL không chứa ε

Bước 1: xây dựng G` có dạng CNF tương đương G
Bước 2: đổi tên các biến trong G` thành A1, A2, ..., Am (m ≥1 ) với A1 là ký hiệu bắt đầu. Đặt V = {A1, A2, ..., Am}
Bước 3: thay thế luật sinh sao cho nếu Ai Aj thì j > i
Nếu j Trong P chỉ chứa các luật sinh dạng: Ai Aj (j > i), Ai a hoặc Bk  với (V  {B1,B2, ...,Bi-1})*
Bước 4: thay thế các Ai – luật sinh về đúng dạng (áp dụng bổ đề 3)
Bước 5: thay thế các Bk – luật sinh về đúng dạng (bổ đề 3)
Dạng chuẩn Greibach (GNF)
Giải thuật : (thay thế sao cho Ai Ai thì j > i)
Begin
(1) for k := 1 to m do begin
(2) for j := 1 to k-1 do
(3) for Mỗi luật sinh dạng Ak  Aj do
begin
(4) for Tất cả luật sinh Aj   do
(5) Thêm luật sinh Ak  ;
(6) Loại bỏ luật sinh Ak  Aj
end;
(7) for Mỗi luật sinh dạng Ak  Ak do
begin
(8) Thêm các luật sinh Bk   và Bk  Bk;
(9) Loại bỏ luật sinh Ak  Ak
end;
(10) for Mỗi luật sinh Ak   trong đó  không bắt đầu bằng Ak do
(11) Thêm luật sinh Ak  Bk
end;
end;
Dạng chuẩn Greibach (GNF)
Ví dụ: tìm văn phạm có dạng GNF cho văn phạm G sau:
A1  A2A1 A2A3
A2  A3A1 a
A3  A2A2 b
Bước 1: G thỏa CNF
Bước 2: ta có V = {A1, A2, A3}
Bước 3: ta cần sửa đổi luật sinh A3  A2A2
Áp dụng bổ đề 3: A3  A3A1A2 aA2
A3  A3A1A2 aA2  b
Áp dụng bổ đề 4, ta thu được tập luật sinh:
A1  A2A1 A2A3
A2  A3A1 a
A3  aA2  b aA2B  bB
B  A1A2 A1A2B
Dạng chuẩn Greibach (GNF)
Bước 4: A3 đã có dạng chuẩn. Thay thế A3 vào A2 :
B A1A2 A1A2B
A3aA2  b aA2B  bB
A2aA2A1  bA1 aA2BA1  bBA1  a
A1aA2A1A1  bA1A1 aA2BA1A1  bBA1A1  aA1
aA2A1A3  bA1A3 aA2BA1A3  bBA1A3  aA3
Bước 5: thay thế các Bk – luật sinh
B aA2A1A1A2  bA1A1A2 aA2BA1A1A2  bBA1A1A2  aA1A2
aA2A1A3A2  bA1A3A2 aA2BA1A3A2  bBA1A3A2  aA3A2 
aA2A1A1A2B bA1A1A2B aA2BA1A1A2B  bBA1A1A2B  aA1A2B
aA2A1A3A2B  bA1A3A2B aA2BA1A3A2B  bBA1A3A2B  aA3A2B

Bổ đề bơm cho CFL
Bổ đề bơm: cho L là một CFL bất kỳ, tồn tại một số n chỉ phụ thuộc vào L sao cho nếu z  L và |z| ≥ n thì ta có thể viết z=uvwxy sao cho: |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ n và i ≥ 0 ta có uviwxiy  L

Ví dụ: chứng minh L = {aibici | i ≥ 1} không là CFL
Giả sử L là CFL, khi đó tồn tại số n theo bổ đề bơm
Xét chuỗi z = anbncn, |z| ≥ n, ta có thể viết z=uvwxy thỏa bổ đề
Ta có: vwx anbncn, |vwx| ≤ n nên vwx không thể đồng thời chứa cả ký hiệu a và c (vì giữa a và c có n ký hiệu b) → vx cũng không thể chứa cả ký hiệu a và c.
Do |vx| ≥ 1 và trong uvwxy chứa số ký hiệu a, b, c bằng nhau:
Nếu vx có chứa ký hiệu a (nên không thể chứa ký hiệu c) thì khi bơm chuỗi vx, số ký hiệu c sẽ không đổi (luôn là n), nhưng số ký hiệu a sẽ thay đổi. Ví dụ: chuỗi uv0wx0y  L vì có số ký hiệu a (ít hơn n) số ký hiệu c (luôn là n) không bằng nhau.
Nếu vx không chứa ký hiệu a thì khi bơm chuỗi vx, số ký hiệu a không đổi, nhưng số ký hiệu b (hoặc c) sẽ thay đổi.
Tính chất đóng của CFL
Định lý 5.7: CFL đóng với phép hợp, phép kết nối và phép bao đóng Kleen.

Định lý 5.8: CFL không đóng với phép giao

Hệ quả: CFL không đóng với phép lấy phần bù