Bổ túc toán 3

Automata hữu hạn &
Biểu thức chính quy
Nội dung:
Khái niệm DFA & NFA
Sự tương đương giữa DFA & NFA
Biểu thức chính quy
Các tính chất của tập chính quy
Chương 3:
Phân loại FA
Ví dụ:
Automata hữu hạn đơn định (DFA)
Mở rộng hàm chuyển trạng thái
δ(q, ) = q
δ(q, wa) = δ( δ(q,w), a) với  w, a
Ngôn ngữ được chấp nhận:
L(M) = { x | δ( q0, x )  F }
Ngôn ngữ chính quy
Ví dụ: chuỗi nhập w=110101
δ(q0, 1) = q1
δ(q0, 11) = δ(q1, 1) = q0
δ(q0, 110) = δ(q1, 10) = δ(q0, 0) = q2
δ(q0, 1101) = δ(q1, 101) = δ(q0, 01) = δ(q2, 1) = q3
δ(q0, 11010) = … = δ(q3, 0) = q1
δ(q0, 110101) = … = δ(q1, 1) = q0  F
Giải thuật hình thức
Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ L(M) được chấp nhận bởi automata M.
Input: chuỗi nhập x$
Output: câu trả lời ‘YES’ hoặc ‘NO’
Giải thuật:
q := q0 ;
c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo}
While c <> $ do
begin
q := δ(q, c);
c := nextchar ;
end
If (q in F) then write("YES") else write("NO");
Automata hữu hạn không đơn định (NFA)
Nhận xét:
Ứng với một trạng thái và một ký tự nhập, có thể có không, một hoặc nhiều phép chuyển trạng thái.
DFA là một trường hợp đặc biệt của NFA
Ví dụ: cho automata M (hình vẽ) và xét chuỗi nhập 01001
Định nghĩa NFA
Chú ý: khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p sao cho có phép chuyển từ trạng thái q trên nhãn a.

Hàm chuyển trạng thái mở rộng:
δ(q, ) = {q}
δ(q, wa) = { p | có một trạng thái r trong δ(q, w) mà pδ(r, a) }
= δ( δ(q,w), a)
δ(P, w) = qP δ(q, w) với P  Q
Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên
M( {q0, q1, q2, q3, q4}, {0, 1}, δ, q0, {q2, q4} )

δ(q0, 0) = {q0,q3}
δ(q0, 01) = δ( δ(q0, 0), 1)
= δ({q0, q3},1) = δ(q0, 1)  δ(q3, 1) = {q0, q1}
δ(q0, 010) = {q0, q3}
δ(q0, 0100) = {q0, q3, q4}
δ(q0, 01001) = {q0, q1, q4}
Do q4  F nên w=01001  L(M)
Ví dụ về NFA
Sự tương đương giữa DFA & NFA
Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn tại một DFA chấp nhận L.

Giả sử NFA M={Q, Σ, δ, q0, F} chấp nhận L
Ta xây dựng DFA M’={Q’, Σ, δ’, q0’, F’} chấp nhận L
Q’ = 2Q . Một phần tử trong Q’ được ký hiệu là [q0, q1, …, qi] với q0, q1, …, qi  Q
q0’ = [q0]
F’ là tập hợp các trạng thái của Q’ có chứa ít nhất một trạng thái kết thúc trong tập F của M
Hàm chuyển δ’([q1, q2,..., qi], a) = [p1, p2,..., pj] nếu và chỉ nếu δ({q1, q2,..., qi }, a) = {p1, p2,..., pj}
Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA
Ví dụ: NFA M ({q0, q1}, {0, 1}, δ, q0, {q1}) với hàm chuyển
δ(q0,0) = {q0, q1}, δ(q0,1) = {q1}, δ(q1,0) = , δ(q1,1) = {q0, q1}

Ta sẽ xây dựng DFA tương đương M’ (Q’, {0, 1}, δ’, [q0], F’)
Q’ = {, [q0], [q1], [q0, q1]}
F’ = {[q1], [q0, q1]}
Hàm chuyển δ’
δ’(, 0) = δ’(, 1) = 
δ’([q0], 0) = [q0, q1]
δ’([q0], 1) = [q1]
δ’([q1], 0) = 
δ’([q1], 1) = [q0, q1]
δ’([q0, q1], 0) = [q0, q1]
δ’([q0, q1], 1) = [q0, q1]
NFA với - dịch chuyển (NFA)
Định nghĩa: NFA M(Q, Σ, δ, q0, F)
δ : hàm chuyển ánh xạ Q x (Σ  {}) → 2Q
Khái niệm δ(q, a) là tập hợp các trạng thái p sao cho có phép chuyển nhãn a từ q tới p, với a  (Σ  {})
Ví dụ: xây dựng NFA chấp nhận chuỗi 0*1*2*
Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA
Định nghĩa -CLOSURE:
-CLOSURE(q) = { p | có đường đi từ q tới p theo nhãn  }
-CLOSURE(P) = qP -CLOSURE(q)

Hàm chuyển trạng thái mở rộng: mở rộng δ thành δ*
δ* : Q x Σ* → 2Q
δ*(q, w) = { p | có đường đi từ q tới p theo nhãn w, trên đường đi có thể chứa cạnh nhãn  }
Ta có:
δ*(q, ) = -CLOSURE(q)
δ*(q,a) = -CLOSURE(δ(δ*(q, ),a))
δ*(q, wa) = -CLOSURE( δ( δ*(q, w), a) )
Cách khác: δ*(q, wa) = -CLOSURE(P)
với P = { p | r  δ*(q, w) và p  δ(r, a) }
δ*(R, w) = qR δ*(q, w)
Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA
Ví dụ:
Xét chuỗi nhập w = 012
δ*(q0, ) = -CLOSURE(q0) = {q0, q1, q2}
δ*(q0, 0) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, ), 0))
= -CLOSURE(δ({q0, q1, q2}, 0)) = -CLOSURE(δ(q0, 0)  δ(q1, 0)  δ(q2, 0) ) = -CLOSURE( {q0}     )
= -CLOSURE({q0}) = {q0, q1, q2}
δ*(q0, 01) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, 0), 1))
= -CLOSURE(δ({q0, q1, q2}, 1)) = -CLOSURE({q1})
= {q1,q2}
δ*(q0, 012) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, 01), 2))
= -CLOSURE(δ({q1, q2}, 2)) = -CLOSURE({q2}) = {q2}
Do q2  F nên w  L(M)
Giải thuật hình thức cho NFA
Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFA
Input: chuỗi nhập x$
Output: câu trả lời ‘YES’ (x được chấp nhận) hoặc ‘NO’
Giải thuật:
q := -CLOSURE (q0) ;
c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo}
While c <> $ do
begin
q := -CLOSURE (δ(q, c));
c := nextchar ;
end
If (q in F) then write("YES") else write("NO");
Sự tương đương giữa NFA và NFA
Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có -dịch chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có -dịch chuyển.

Giả sử: NFA M(Q, Σ, δ, q0, F) chấp nhận L
Ta xây dựng: NFA M’={Q, Σ, δ’, q0, F’}
Với:
F’ = F  q0 nếu -CLOSURE(q0) chứa một trạng thái thuộc F.
Ngược lại, F’ = F
δ’(q, a) = δ*(q, a)
Ví dụ:

Xây dựng NFA tương đương M’={Q, Σ, δ’, q0, F’}
Q = {q0, q1, q2}
Σ = {0, 1, 2}
Trạng thái bắt đầu: q0
F’ = {q0, q2}
Hàm chuyển δ’
Sự tương đương giữa NFA và NFA
Xây dựng DFA từ NFA()
Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFA sau:
M = (Q={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, Σ={a, b}, δ, 0, F={10})
Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M
Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ -CLOSURE(q0)
F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng thái của F }
Xây dựng hàm chuyển δ’
Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’
Giải thuật:
T := -CLOSURE (q0) ; T chưa được đánh dấu ;
Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do
Begin
Đánh dấu T; { xét trạng thái T}
For Với mỗi ký hiệu nhập a do
begin
U:= -closure((T, a))
If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then
begin
Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;
Trạng thái U chưa được đánh dấu;
[T, a] := U;{[T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}
end;
end;
End;
Xây dựng DFA từ NFA()
-CLOSURE(q0) = {0, 1, 2, 4, 7} → q0’ = [0, 1, 2, 4, 7] = A
-CLOSURE(δ(A, a)) = -CLOSURE({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} → B
-CLOSURE(δ(A, b)) = -CLOSURE({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7} → C
-CLOSURE(δ(B, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B
-CLOSURE(δ(B, b)) = -CLOSURE({5, 9}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9} → D
-CLOSURE(δ(C, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B
-CLOSURE(δ(C, b)) = -CLOSURE({5}) = → C
-CLOSURE(δ(D, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B
-CLOSURE(δ(D, b)) = -CLOSURE({5,10}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10} → E
-CLOSURE(δ(E, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B
-CLOSURE(δ(E, b)) = -CLOSURE({5}) = → C
Bảng hàm chuyển
Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ -CLOSURE(q0) )
Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng thái 10  F)
Xây dựng DFA từ NFA()
Biểu thức chính quy (RE)
Vài ví dụ:
00 : là biểu thức chính quy biểu diễn tập {00}
(0+1)* : tập hợp tất cả các chuỗi số 0 và số 1, kể cả chuỗi rỗng = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 010, 011, 0010 ... }
(0+1)*011 : ký hiệu cho tất cả các chuỗi 0, 1 tận cùng bởi 011 = {011, 0011, 1011, 00011, 11011, ... }
(0+1)*00(0+1)* : tập hợp tất cả các chuỗi 0,1 có ít nhất hai số 0 liên tiếp = {00, 000, 100, 0000, 0001, 1000, 1001, 011001, ... }
(0+ )(1+10)* : tất cả các chuỗi không có hai số 0 liên tiếp = {, 0, 01, 010, 1, 10, 01010, 0111, ... }
0*1*2* : {, 0, 1, 2, 01, 02, 12, 012, 0012, 0112, ... }
00*11*22* : tất cả các chuỗi trong tập 0*1*2* với ít nhất một ký hiệu 0, 1 và 2 ↔ viết gọn thành 0+1+2+
Biểu thức chính quy (RE)
Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái. BTCQ trên Σ là các tập hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:
 là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng
 là BTCQ ký hiệu cho tập {}
a  Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a}
Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và S thì (r + s), (rs) và ( r*) là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R  S, RS và R* tương ứng

Thứ tự ưu tiên:
Phép bao đóng > Phép nối kết > Phép hợp
Ví dụ:
Biểu thức ((0(1*)) + 1) có thể viết là 01*+1
Tính chất đại số của BTCQ
Phép hợp:
r +  =  + r = r
r + r = r
r + s = s + r
(r + s) + t = r + (s + t) = r + s + t
Phép nối kết:
r = r = r
r = r = 
(r + s) t = rt + st
r (s + t) = rs + rt
Phép bao đóng:
* = 
* = 
r*r* = r*
(r*)* = r*
r* =  + r + r2 + … + rk + …
r* =  + r+
( + r)+ = ( + r)* = r*
r*r = r r* = r+
Tổng hợp:
(r* + s*)* = (r*s*)* = (r + s)*
(rs)*r = r(sr)*
(r*s)* r* = (r + s)*
Sự tương đương giữa NFA và BTCQ
Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với -dịch chuyển chấp nhận L(r)

Chứng minh: quy nạp theo số phép toán
Xét r không có phép toán nào
Các NFA cho các kết hợp đơn
Xét r có i phép toán: r = r1 + r2, r = r1r2 hoặc r = r1*
Xây dựng NFA M1 = (Q1, Σ1, δ1, q1, {f1}) và M2 = (Q2, Σ2, δ2, q2, {f2}) sao cho L(M1) = L(r1) và L(M2) = L(r2)
Xây dựng NFA M như sau:
Sự tương đương giữa NFA và BTCQ
r = r1 + r2
r = r1r2
r = r1*
Sự tương đương giữa NFA và BTCQ
Ví dụ: xây dựng NFA chấp nhận BTCQ r = 01* + 1
r có dạng: r = r1 + r2 với r1 = 01* và r2 = 1
r1 có dạng r1 = r3r4 với r3 = 0 và r4 = 1*
r4 có dạng r4 = r5* với r5 = 1
Sự tương đương giữa DFA và BTCQ
Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được ký hiệu bởi một BTCQ

Chứng minh:
L được chấp nhận bởi DFA M({q1, q2,..., qn}, Σ, δ, q1, F)
Đặt Rkij = {x | δ(qi, x) = qj và nếu δ(qi, y) = ql (y  x) thì l ≤ k}
(hay Rkij là tập hợp tất cả các chuỗi làm cho automata đi từ trạng thái i đến trạng thái j mà không đi ngang qua trạng thái nào lớn hơn k)
Định nghĩa đệ quy của Rkij :
Sự tương đương giữa DFA và BTCQ
Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi Rkij đều tồn tại một biểu thức chính quy ký hiệu cho Rkij .
k = 0: R0ij là tập hữu hạn các chuỗi 1 ký hiệu hoặc 
Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-1, tức là tồn tại BTCQ rk-1lm sao cho L(rk-1lm) = Rk-1lm
Vậy đối với Rkij ta có thể chọn BTCQ
rkij = (rk-1ik)(rk-1kk)*(rk-1kj) + rk-1ij
→ bổ đề đã được chứng minh
Ta có nhận xét:
L(M) = qj F Rn1j
Vậy L có thể được ký hiệu bằng BTCQ
r = rn1j1 + rn1j2 + … + rn1jp
với F = {qj1, qj2, …, qjp}
Sự tương đương giữa DFA và BTCQ
Ví dụ: viết BTCQ cho DFA
Ta cần viết biểu thức:
r = r312 + r313
Ta có:
r312 = r213(r233)*r232 + r212
r313 = r213(r233)*r233 + r213
Thay vào và rút gọn, ta có:
r = 0*1((0 + 1)0*1)* ( + (0 + 1)(00)*) + 0(00)*
Sự tương đương giữa DFA và BTCQ
Mối liên hệ giữa FA và BTCQ
Sơ đồ liên hệ: