Bổ túc toán 2

Ngôn ngữ và sự phân cấp Chomsky
Nội dung:
Khái niệm ngôn ngữ
Cách biểu diễn ngôn ngữ
Văn phạm
Sự phân lớp văn phạm
Chương 2:
Ký hiệu, bộ chữ cái, chuỗi
Ký hiệu (symbol): là một thực thể trừu tượng mà ta không định nghĩa được một cách hình thức
Các chữ cái a, b, c … hoặc các số 1, 2, 3 …
Bộ chữ cái (alphabet): Σ
Là một tập (không rỗng) các ký hiệu nào đó
Bộ chữ cái Latin {A, B, C, …, a, b, c, …, z}
Chuỗi (string): một chuỗi (hay một từ - word) trên bộ chữ cái Σ
Là một dãy hữu hạn các ký hiệu của Σ
Một ký hiệu có thể xuất hiện nhiều lần
Chuỗi
Độ dài chuỗi: là số các ký hiệu tạo thành chuỗi
|abca| = 4
Chuỗi rỗng: ký hiệu ε, là chuỗi không có ký hiệu nào
|ε| = 0
Chuỗi con: chuỗi v là chuỗi con của w nếu v được tạo bởi các ký hiệu liền kề nhau trong chuỗi w.
Chuỗi 10 là chuỗi con của chuỗi 010001
Chuỗi tiền tố: là chuỗi con bất kỳ nằm ở đầu chuỗi
Chuỗi hậu tố: là chuỗi con bất kỳ nằm ở cuối chuỗi
Chuỗi abc có các tiền tố a, ab, abc
Chuỗi 0246 có các hậu tố 6, 46, 246, 0246
Chuỗi
Chuỗi nối kết (ghép): là chuỗi được tạo thành bằng cách viết chuỗi thứ nhất, sau đó viết chuỗi thứ hai, ...
Nối ghép của chuỗi Long và Int là LongInt
Nối kết của chuỗi rỗng: εw = wε = w (với mọi w)
→ ε là đơn vị của phép nối kết
Chuỗi đảo ngược: của chuỗi w, ký hiệu wR, là chuỗi w được viết theo thứ tự ngược lại.
w = abcd → wR = dcba εR = ε
Ngôn ngữ (Languages)
Tổng quan về ngôn ngữ:
Ngôn ngữ tự nhiên: tiếng Việt, tiếng Anh, …
Ngôn ngữ lập trình: Pascal, C/C++, …
Là tập hợp các câu theo cấu trúc quy định nào đó
Biểu thị các ý nghĩ, các sự kiện hay các khái niệm
Bao gồm một tập các ký hiệu và các quy tắc để vận dụng chúng
Ngôn ngữ (Languages)
Một ngôn ngữ (hình thức) L là một tập hợp các chuỗi của các ký hiệu từ một bộ chữ cái  nào đó.
* và +:
* : tập hợp tất cả các chuỗi con, kể cả chuỗi rỗng ε, sinh ra từ bộ chữ cái .
+ : tập hợp tất cả các chuỗi con, ngoại trừ chuỗi rỗng ε, sinh ra từ bộ chữ cái .
* = + + {ε} + = * - {ε}
 = {0,1} thì:
* = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, …}
+ = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, …}
Chuỗi 010210  * vì có số 2  
Phép phần bù (complement):
= * - L
Phép nối kết (concatenation):
L1L2 = {w1w2 | w1  L1 và w2  L2} trên bộ chữ cái Σ1  Σ2
LLL…LL = Li (kết nối i lần trên cùng ngôn ngữ L)
L0 = {ε}
Các phép toán trên ngôn ngữ
Phép bao đóng (closure): thành lập một ngôn ngữ bằng cách kết nối các chuỗi (với số lượng bất kỳ) các chuỗi của một ngôn ngữ L cho trước
Bao đóng Kleene: L* =  Li
Bao đóng dương (positive): L+ =  Li

Chú ý: L+ = L*L = LL* L* = L+  {ε}
Ví dụ: cho L = {a, ba}
L2 = {aa, aba, baa, baba}
L3 = {aaa, aaba, abaa, ababa, baaa,baaba, babaa, bababa}
L* = {ε, a, ba, aa, aba, baa, baba, aaa, aaba, …}
Các phép toán trên ngôn ngữ
i = 0

i = 1

Biểu diễn ngôn ngữ
Liệt kê chuỗi: L = {aa, aba, baa, baba}
Mô tả đặc điểm chủ yếu: L = {ai | i là số nguyên tố}
Biểu diễn thông qua văn phạm và automata:
Cho phép biểu diễn ngôn ngữ một cách tổng quát
Văn phạm: cơ chế sản sinh ra mọi chuỗi của ngôn ngữ
Automata: cơ chế cho phép đoán nhận một chuỗi bất kỳ có thuộc một ngôn ngữ L hay không
Định nghĩa văn phạm
Theo từ điển, văn phạm là một tập các quy tắc về cấu tạo từ và các quy tắc về cách thức liên kết từ lại thành câu
Định nghĩa: văn phạm cấu trúc G là một hệ thống gồm 4 thành phần G(V, T, P, S)
V (variables): tập các biến (VD: A, B, C, …)
T (terminal): tập các ký hiệu kết thúc (V  T = Ø) (VD: a, b, c, …, w, x, y, ...)
P (production): tập luật sinh, dạng α→β với α, β  (V  T)*
S (start): ký hiệu bắt đầu (S  V)
Định nghĩa văn phạm
Dẫn xuất trực tiếp: nếu α→β là một luật sinh thì
     
Dẫn xuất gián tiếp: nếu các chuỗi 1, 2, ...., m  * và 1  2, 2  3, ..., m-1  m thì m có thể được dẫn xuất từ 1
1 * m
Ngôn ngữ L sinh bởi văn phạm G:
L (G) = {w  w  T * và S * w}
Văn phạm tương đương: là 2 văn phạm sinh ra cùng một ngôn ngữ (G1 tương đương G2  L(G1)=L(G2) )
Phân cấp Chomsky trên văn phạm
Bằng cách áp đặt một số quy tắc hạn chế trên các luật sinh, Noam Chomsky đề nghị một hệ thống phân loại các văn phạm dựa vào tính chất của các luật sinh.
Loại 0 – Văn phạm không hạn chế (Unrestricted Grammar): không cần thỏa điều kiện ràng buộc nào trên tập các luật sinh
Loại 1 – Văn phạm cảm ngữ cảnh (CSG – Context Sensitive Grammar): nếu văn phạm G có các luật sinh dạng α→β và |β| ≥ |α|
Loại 2 – Văn phạm phi ngữ cảnh (CFG – Context-Free Grammar): có luật sinh dạng A→α với A là một biến đơn và α là chuỗi các ký hiệu thuộc (V  T)*
Phân cấp Chomsky trên văn phạm
Loại 3 – Văn phạm chính quy (RG – Regular Grammar): có mọi luật sinh dạng tuyến tính phải hoặc tuyến tính trái.
Tuyến tính phải: A → wB hoặc A → w
Tuyến tính trái: A → Bw hoặc A → w
Với A, B là các biến đơn, w là chuỗi ký hiệu kết thúc (có thể là rỗng)
Nếu ký hiệu L0, L1, L2, L3 là các ngôn ngữ được sinh ra bởi văn phạm loại 0, 1, 2, 3, ta có:
L3  L2  L1  L0
Ví dụ 1: văn phạm G( {S, A}, {a, b}, P, S )


Đây là văn phạm loại 3 (dạng tuyến tính phải)
Một dẫn xuất từ S có dạng:
S  aS  aaS  aaaA  aaabA  aaabbA  aaabbbA  aaabbbb = a3 b4
 L(G) = a+b+ = {anbm | n,m ≥ 1}
Các ví dụ về văn phạm
Ví dụ 2: văn phạm G( {S}, {a, b}, P, S )


Đây là văn phạm loại 2 (dạng A→α )
Một dẫn xuất từ S có dạng:
S  aSb  aaSbb  aaaSbbb  aaaabbbb = a4b4
 L(G) = {anbn | n ≥ 1}
Các ví dụ về văn phạm
Ví dụ 3: văn phạm G( {S, B, C}, {a, b, c}, P, S )




Đây là văn phạm loại 1
Một dẫn xuất từ S: S  aSBC  aaBCBC  aabCBC  aabBCC  aabbCC  aabbcC  aabbcc=a2b2c2
 L(G) = {anbncn | n ≥ 1}
Các ví dụ về văn phạm
Định nghĩa ôtômát (automata)
Định nghĩa: là máy trừu tượng có cơ cấu và hoạt động đơn giản nhưng có khả năng đoán nhận ngôn ngữ
Con người phải lập trình sẵn cho máy một ‘lộ trình’ để thực hiện
Phân loại automata
Automata đơn định (Deterministic Automata):
Mỗi bước di chuyển chỉ được xác định duy nhất bởi cấu hình hiện tại (hàm chuyển của automata là đơn trị)
Automata không đơn định (Non-deterministic Automata):
Tại mỗi bước di chuyển, nó có vài khả năng để lựa chọn (hàm chuyển của automata là đa trị)