Bổ túc toán 1

Bổ túc toán
Nội dung:
Tập hợp
Quan hệ
Phép chứng minh quy nạp
Đồ thị và cây
Chương 1:
Tập hợp (Set)
Ví dụ:
D = {Mon, Tue, Wed, Thu, Fri, Sat, Sun}


Định nghĩa:
Tập hợp là tập các đối tượng không có sự lặp lại
Tập các đối tượng rời rạc
Không trùng lắp
Phần tử
Ký hiệu tập hợp
Liệt kê phần tử:
D = {1, 2, 3}
Đặc tả tính chất đặc trưng:
D = { x | x là một ngày trong tuần }
Một số dạng tập hợp đặc biệt
Tập rỗng:
Ký hiệu:  hoặc { }
Tập hợp con:
Ký hiệu: A  B (Ngược lại: A  B )
{ 1, 2, 4 }  { 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 2, 4, 6 }  { 1, 2, 3, 4, 5 }
Một số dạng tập hợp đặc biệt
Tập hợp bằng nhau:
Ký hiệu: A = B (Ngược lại: A  B )
{ 1, 2 } = { 2, 1 } nhưng { 1, 2, 3 }  { 2, 1 }
Tập lũy thừa:
Ký hiệu: 2A
A = { 1, 2, 3 } thì 2A = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3} }
Các phép toán trên tập hợp
Phần bù (complement):
A’ = { x | ‌‌x  A }
Phép hợp (Union):
A  B = { x | x  A hoặc x  B }
Phép giao (intersection):
A  B = { x | x A và x  B }
Các phép toán trên tập hợp
Phép trừ (difference):
A B = { x | x  A nhưng x  B }
Tích Đềcác:
A x B = { (a,b) | a  A và b  B }
Các phép toán trên tập hợp
Ví dụ: cho A = {1, 2} và B = {2, 3}
A  B = { 1, 2, 3 }
A  B = { 2 }
A B = { 1 }
A x B = { (1,2 ), (1, 3), (2, 2), (2, 3) }
2A = { , {1}, {2}, {1, 2} }



R ( A  B ) = aRb


miền xác định (domain)  miền giá trị (range)

Quan hệ
S
Quan hệ
Ví dụ: cho S = {0, 1, 2, 3}
Quan hệ ‘thứ tự nhỏ hơn’
L = { (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) }
Quan hệ ‘bằng’
E = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) }
Quan hệ ‘chẵn lẻ’
P = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 2), (2, 0), (1, 3), (3, 1)}
Các tính chất của quan hệ
Phản xạ (reflexive): nếu aRa là đúng với aS
Đối xứng (symmetric): nếu aRb thì bRa
Bắc cầu (transitive): nếu aRb và bRc thì aRc
Ví dụ:
L không là quan hệ phản xạ hay đối xứng
E và P mang tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu
Quan hệ tương đương
Quan hệ tương đương = Quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu
Ví dụ:
E và P là quan hệ tương đương
L không là quan hệ tương đương
Lớp tương đương
Nếu R là quan hệ tương đương trên S thì R phân hoạch S thành các lớp tương đương không rỗng và rời nhau: S = S1  S2  …
Tính chất:
Si  Sj = 
Nếu a, b cùng thuộc Si thì aRb đúng
Nếu a  Si và b  Sj thì aRb sai
Ví dụ: P có 2 lớp tương đương {0, 2} và {1, 3}
Bao đóng của quan hệ
P-closure = quan hệ nhỏ nhất thỏa các tính chất trong P
Bao đóng bắc cầu R+:
Nếu (a,b)  R thì (a,b) R+
Nếu (a,b)  R+ và (b,c)  R thì (a,c)  R+
Không còn gì thêm trong R+
Bao đóng phản xạ và bắc cầu R*:
R* = R+  { (a, a)  a  S }
Bao đóng của quan hệ
Ví dụ: R = { (1, 2), (2, 2), (2, 3) } trên S = {1, 2, 3}
R+ = { (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3) }
R* = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) }
Nguyên lý quy nạp
Bước 1 (cơ sở quy nạp): chứng minh P(0)
Bước 2 (giả thiết quy nạp): giả sử P(n-1)
Bước 3 (quy nạp): P(n - 1)  P(n),  n  1.

Ví dụ: chứng minh
Đồ thị G = (V, E)
V : tập các đỉnh (nút)
E : tập các cạnh nối giữa 2 nút
Ví dụ: đồ thị G = (V, E)
V = { 1, 2, 3, 4, 5 }
E = { (n, m) | n+m = 4 hoặc n+m = 7}
Đồ thị (Graph)
Đồ thị G = (V, E)
V : tập các đỉnh (nút)
E : tập các cung có hướng v  w
Ví dụ: đồ thị G = (V, E)
V = { 1, 2, 3, 4 }
E = { i  j  i < j }
Đồ thị có hướng (Directed graph)
Cây: là đồ thị có hướng
1 nút gốc
Nút trung gian (nút trong)
Nút lá: không dẫn ra nút con
Thứ tự duyệt trên cây: trái  phải
Cây (Trees)
Ví dụ: cây minh họa cấu trúc cú pháp câu ‘An là sinh viên giỏi’
Cây (Trees)