Biendoidieukienbaitoan Toan9

BIẾN ĐỔI LIÊN TỤC
ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN



Mỗi bài toán với các điều kiện cho trước, dẫn đến một kết luận nhất định.
Khi điều kiện thay đổi thì kết luận cũng thay đổi.
Bài viết này giới thiệu với các bạn một số phương pháp biến đổi liên tục các điều kiện của bài toán để từ đó làm xuất hiện các bài toán mới.
Những bài toán đó có sự liên quan mật thiết, chặt chẽ với nhau,
Trong đó mỗi phương pháp giải và kết quả của bài toán này có thể được khai thác và vận dụng một cách linh hoạt cho bài toán kia.


Bài toán 1
Cho đường tròn (O;R), dây AB cố định. C là điểm di động trên (O), kẻ dây CD vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tìm vị trí của C ( (O) để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.


LƯỢC GIẢI:

Vị trí của C ( (O) để MN đạt giá trị lớn nhất

Gọi H = AB ( CD. Xét 3 trường hợp của điểm H đối với (O).
+) H nằm trong (O) (hình 1)

Gọi K là trung điểm của BC.
Ta có MK là đường trung bình của (ABC nên
MK // AB, MK = AB/2,
NK là đường trung bình của (BCD nên
NK // CD, NK = CD/2.
Vì AB ( CD nên MK ( NK,
(MNK vuông tại K, định lý Py-ta-go cho ta:
MN2 = MK2 + NK2 =
Vì CD là dây cung của (O) nên CD ( 2R.
Do đó MN (
Suy ra MN đạt max = khi CD = 2R,
tức C là trung điểm của cung

+) H nằm ngoài (O) (hình 2)

Chứng minh tương tự như trên, ta vẫn có MN (
Nên MN đạt max = khi CD = 2R,
tức C là trung điểm của cung

+) H ( (O)
( Xét H ( A ( (O) (hình 3),
Ta có D ( A, khi đó BC là đường kính của (O)
Trong trường hợp này, MN là đường trung bình của (ABC
Nên MN = BC/2 = R <

( Xét H ( B ( (O) (hình 4),
Ta có D ( B ( N
Trong trường hợp này, AC là đường kính của (O), M ( O
Nên MN = OB = R <
Vậy khi C là trung điểm của thì MN có giá trị lớn nhất là










Bài toán 2 (hình 5)
Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB và CD di động nhưng luôn vuông góc với nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tìm vị trí của H để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.

LƯỢC GIẢI:
Tiến hành giải tương tự như bài toán 1
(xem hình 1),
Ta có:
MN
Do đó MN đạt max = Rkhi AB = CD = 2R
Suy ra H ( O.
Lúc này đoạn thẳng MN nhận O là trung điểm.

Vậy khi hai dây AB và CD là các đường kính của (O)
vuông góc nhau tại tâm O thì đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất bằng R









Bài toán 3
Cho đường tròn (O), hai dây cung AC, BD không đi qua tâm O. Gọi H là hình chiếu của B lên AC, M là trung điểm của AB, P là trung điểm của OH, N là điểm đối xứng của M qua P.
Chứng minh hai đường thẳng CN và BH cắt nhau tại một điểm trên đường tròn (O).

LƯỢC GIẢI:
Chứng minh CN và BH cắt nhau tại điểm D ( (O)

Gọi D là giao điểm thứ hai của BH với (O).
Ta chứng minh C, N, D thẳng hàng

+) Xét trường hợp H nằm giữa A, C (hình 1)
Vẽ đường kính AE của (O).
Ta có OM là đường trung bình của ( ABE nên
OM // BE, OM = BE/2
Mặt khác, EC ( AC, BD ( AC nên EC // BD,
do đó BDCE là hình thang cân, suy ra CD = BE = 2OM (1)
Vì OMHN là hình bình hành nên OM = HN (2)
Từ (1), (2) suy ra CD = 2HN.
Ta chứng minh N là trung điểm của CD.
Thật vậy, giả sử N’ là trung điểm