Biện luận phương trình số nghiệm bằng đồ thị

1
BIỆN LUẬN
SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
2
Khảo sát hàm số :
y = x3 - 3x + 1 .
GIẢI
Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số.
3
Miền xác định : D = R
y` = 3x2 - 3 =0
x = 1 V x = - 1
Bảng biến thiên:
x
- 1
1
0
0
+
-
+
y`
y
3
- 1
CĐ
CT
y`` = 6x=0
x = 0
x
y``
y
lồi
lõm
0
0
-
+
Điểm đặc biệt :
x = 2
y = 3
x = - 2
y = - 1
Điểm uốn I ( 0; 1 )
4
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
0
5
CÂU HỎI 2
biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 - m = 0 .
GIẢI
x3 - 3x + 1 = 0 (*)
x3 - 3x + 1 = m (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
Dựa vào đồ thị ( C), ta có :
?
Có nhận xét gì về phương trình (1)
( C )
( d )
- m
- m = 0
- m
Số giao điểm của hai đồ thị bằng với
số nghiệm phương trình hoành độ
giao điểm của hai đồ thị đó.
( C ): y = x3 - 3x + 1
d: y = m
Dùng đồ thị ( C ) để
6
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
0
d : y=m
7
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m< - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1
Cho biết số giao điểm
của (C) và d

Biện luận :
m <-1: (1) có một nghiệm
Số nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 - m = 0 (1) ?
x1
8
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m= - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Cho biết số giao điểm
của (C) và d

Biện luận :
m =-1: (1) có hai nghiệm
Số nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 - m = 0 (1) ?
x1
x2
9
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
-1< y = m < 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 3
Cho biết số giao điểm
của (C) và d

Biện luận :
-1 < m < 3: (1) có ba nghiệm
Số nghiệm của phương trình: x3 - 3x + 1 - m = 0 (1) ?
x1
x2
x3
10
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m = 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2
Cho biết số giao điểm
của (C) và d

Biện luận :
m = 3 : (1) có hai nghiệm
Số nghiệm của phương trình: x3 - 3x + 1 - m = 0 (1) ?
x2=
x1=
11
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1
Cho biết số giao điểm
của (C) và d

Biện luận :
m > 3 : (1) có một nghiệm
x1
>3
Số nghiệm của phương trình: x3 - 3x + 1 - m = 0 (1)?
12
2
2
2
2
3
1
1
3
Bảng biện luận:
ĐỒ THỊ
13
Biện luận :
m < - 1 : (1) có một nghiệm
m = -1 : (1) có hai nghiệm
-1 < m < 3 : (1) có ba nghiệm
m = 3 : (1) có hai nghiệm
m > 3 : (1) có một nghiệm
Củng Cố
Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * )
Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m).
Vẽ (C) : y = f(x) và vẽ d : y = g(m) cùng phương
với Ox trên cùng một hệ trục tọa độ.
(thường là (C) đã được vẽ trong những phần trước)
Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1).
Phương pháp:Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * ) ?
14
CÂU HỎI 3
2) Định m để phương trình: x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
15
Đồ thị
0
x = - 1
y = x
I
CĐ
CT
Định m để phương trình:
x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
16
GIẢI
x2 - m x + 3 - m = 0 ( 1 )
x2 + 3 = m x + m
x2 + x + 4 = mx + m + 1 + x
x2 + x + 4 = m(x + 1) + (1 + x)
x2 + x + 4 = (x + 1) (m + 1) ( 2 )
( x = - 1 không là nghiệm của phương trình (2) )
(3) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
(C) và đường thẳng d: y = m + 1 cùng phương với trục
Ox. Dựa vào đồ thị :
VT(2)= 4
VP(2)= 0
- 1
17
Đồ thị
0
x = - 1
y = x
I
CĐ
CT
y=m+1> 4
x0
x0 =-3
y=m+1= - 5
y= m+1< - 5
x1
x2
y=m+1
x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm