BDT dai so va tim Max,Min

THAM LUẬN:

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ và BÀI TOÁN GTLN & GTNN
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI CĐ - ĐH

Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phổ thông, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh CĐ - ĐH. Đã có rất nhiều tác giả, nhiều tài liệu đề cập về bất đẳng thức; hôm nay, trong khuôn khổ của một buổi sinh hoạt chuyên môn cụm 6, chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một số bất đẳng thức và bài toán GTLN & GTNN của một số biểu thức đại số đã được ra thi hoặc tương tự với các dạng trong đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua .


I. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 2 số :
( a, b ( 0 :
; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là các số dương thỏa :
.
Chứng minh rằng :

( Nhận xét : Với x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)2 (

Dấu (=) xảy ra ( a = b
( Áp dụng kết quả trên, ta có :

(1)
Tương tự :
(2)

(3)
( Từ (1), (2) và (3) suy ra :

Dấu (=) xảy ra

Ví dụ 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa :
. Tìm GTNN của biểu thức :
P = x + y + z .
( Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).

=


= 14 + 4 + 6 + 12 = 36
( Dấu (=) xảy ra (
(

( Vậy : Pmin = 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .
( Bài tập tương tự :
1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :


2. Cho x, y, z > 0 và thỏa : xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức :


( Hướng dẫn :
1.( Đặt : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0)

Khi đó :
2(VT) =

Áp dụng bđt Cosi , . . . ( (đpcm)
2.( Đặt : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1)

( Áp dụng bđt Cosi , ta có :
,
tương tự :

( Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra :
. Kết luận : MinP =
( x = y = z = 1

II. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM - GM) cho 3 số :
( a, b, c ( 0 :
; đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
Ví dụ 3 : Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.
Chứng minh rằng :

(Tacó :

Tương tự :
,

( Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế , ta có :

(1)
( Lại có :
, vì abc = 1 (2)
( Từ (1) và (2) suy ra : (đpcm) . Dấu (=) xảy ra (


Ví dụ 4 : Cho x, y, z là các số dương thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức :


( Ta có :

≥
=

( Ngoài ra :

Tương tự :

Suy ra : P ≥
. Dấu (=) xảy ra ( x = y = z = 1
( Vậy : Pmin =
khi x = y = z = 1
( Bài tập tương tự :
1. Cho a, b, c > 0 và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng :


2. Cho x, y, z > 0 và thỏa : x + y + z ≥ 6. Tìm GTNN của biểu thức :


( Hướng dẫn :
1. Ta có : (VT) =


=

. . . .




2. ( Áp dụng bđt Cosi , ta có :
,


( Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra :
.
Kết luận : MinP = 6 ( x = y = z = 2

III. Dạng sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski (BCS