BD HSGChuyen de 26 Dung hinh.@

Chuyên đề 26 :





BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Nói đến dựng hình phải nhớ là dựng bằng thước và compa.
Ta đã học những phép dựng hình cơ bản sau:
Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.
Dựng một góc bằng một góc cho trước.
Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước ,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
Dựng tia phân giác của một góc cho trước .
Qua một điểm cho trước ,dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước ,dựng đường thẳng song song với đường thẳng ấy .
Ta đã vận dụng các phép dựng hình cơ bản để dựng tam giác biết ba cạnh ,hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa,hoặc biết một cạnh và góc kề.
Trong các bài toán dựng hình phức tạp hơn,ta phải tuân thủ các bước của phương pháp dựng hình như sau:
Bước 1:Phân tích hình.
Bước 2: Dựng hình.
Bước 3:Chứng minh cách dựng trên thoả mãn yêu cầu của đề toán.
Bước 4:Biện luận: Xem lại từng phép dựng đã thực hiện để xem có điều kiện ràng buộc không.Từ đó suy ra bài toán có mấy nghiệm hình.

Thí dụ 1:Dựng tam giác ABC ,biết cạnh BC = a ,trung tuyến AM = m (a và m là những độ dài cho trước ) và góc
giữa AM và đường cao AH.




Phân tích:Giả sử bài toán đã giải xong,và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của đề toán .Phân tích hình đó theo hướng phát hiện một bộ phận của hình hội đủ các điều kiện để dựng được một cách chính xác.Đó là tam giác vuông AHM có cạnh huyền AM = m,và
=
cho trước.Tam giác đó hoàn toàn xác định nên dựng được. Sau khi dựng xong tam giác vuông AHM ,ta hoàn tất hình phải dựng chẳng khó khăn gì.Vậy ta có cách dựng như sau :
Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng AM có độ dài m cho trước (phép dựng cơ bản a).
Dựng
=
cho trước (phép dựng cơ bản b).
Từ M kẻ MH
Ax tại H (phép dựng cơ bản e).
Bây giờ chỉ còn dựng hai đỉnh B,C .Cạnh BC nằm trên đường thẳng MH,nên trên đường thẳng MH ,ta lấy ở hai phía khác nhau đối với điểm M hai điểmB,C sao cho MB = MC =
(phép dựng cơ bản c và a).
Chứng minh: Rõ ràng tam giác trên đây thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề toán :có cạnh BC = a cho trước , trung tuyến AM = m cho trước ,
=
cho trước .
Biện luận :Lần lại từng khâu dựng hình , khâu nào cũng được thực hiện không có gì trở ngại.Duy chỉ có góc
cho trước và yêu cầu đề ra là
của tam giác vuông AMH phải bằng
,thì rõ ràng
phải là góc nhọn .Vậy với điều kiện này thì bài toán bao giờ cũng giải được và có một nghiệm hình .

Thí dụ 2 :Dựng một tam giác ABC với trung tuyến AM có độ dài bằng một đoạn thẳng m cho trước ,và các góc MAB và MAC lần lượt bằng những góc
và
cho trước.





Phân tích :
Giảsử bài toán đã giải xong và ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài toán .Hình vẽ trên cho thấy không có một bộ phận nào của hình hội đủ điều kiện để dựng được.
Thí dụ:Tam giác AMC chỉ có hai yếu tố được biết là
=
và AM = m ,nên không thể dựng được.Đây là lúc nhớ lại được những bài toán tương tự rất quí giá .
Thí dụ ,nhớ bài :nếu kéo dài trung tuyến AM thêm một đoạn MD = AM ,thì hai tam giác AMB và DMC bằng nhau (c,g,c) nên
1=
. Từ đó ,hình thành tam giác ACD với
2=
,
=
1=
và AD = 2m. Tam giác đó hội đủ điều kiện để dựng được .Sau khi dựng được tam giác này ,ta sẽ dựng được điểm B,chẳng gì khó khăn.
Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng AD = 2m.
Dựng hai góc kề cạnh đó là
=
và
=
,hai cạnh AC và DC giao nhau tại C.Sau đó ta vẽ trung tuyến CA của tam giác ACD và kéo dài thêm một đoạn MB =MC ,từ đó xác định đỉnh B của tam giác ABC cần dựng .
Chứng minh:Theo cách dựng này ,rõ ràng tam giác AMB và tam giác DMC bằng nhau(c,g,c).Từ đó AM =
= m ,
1=
=
,
2=