BD HSGChuyen de 24Nguyen ly Dirichlet voi cac bai toanDai soHinh hoc.@

CHUYÊN ĐỀ 24:

NGUYÊN LÝ DIRICHLET
VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ HÌNH HỌC

I. Giới thiệu nguyên Tắùc Dirichlet:
Nguyên tắc Dirichlet là một định lý có thể chứng minh dễ dàng bằng phản chứng đã được nhà toán học Đức Dirichlet (1805-1859) áp dụng để chứng minh nhiều định lý toán học.
Nguyên tắc Dirichlet thường được phát biểu dưới dạng hình ảnh đơn giản như sau:” Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít nhất là 3 chú thỏ. Nguyên tắc này còn phát biểu dưới dạng khác:
-Dạng 1: nếu có một ánh xạ từ tập hợp M có n+1 phần tử vào tập hợp N có n phần tử thì ít nhất cũng có hai phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tử của tập hợp M có cùng một ảnh là một phần tử của tập hợp N qua ánh xạ đó
-Dạng 2: Nếu tập hợp E gồm n phần tử được phân ra thành n tập hợp con đôi một không giao nhau mà N>nk thì có ít nhất một tập hợp con chứa nhiều hơn k phần tử
-Dạng 3: Minh hoạ bằng hình ảnh
Nếu nhốt N chú thỏ vào n chuồng mà N>nk thì có ít nhất một chuồng nhốt nhiều hơn k chú thỏ .
II. Vận dung nguyên lý Dirichlet vào các bài toán đại số:
Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 20032003 …. 200300…0 chia hết cho 2002
Hướng dẫn giải
-Xét dãy số gồm 2002 số hạng sau:
2003,2003 …. 2003 2003 ….2003
2002 lần 2003
Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2002 có 2002 số dư từ 1 đến 2002 (không thể có số dư 0 vì các số hạng của dãy là các số lẻ). Có 2002 phép chia, nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002.
Giả sử hai số đó là am và an (m,n N ); 1<=m Với am = 2003 2003… 2003 ; an = 2003 2003 … 2003

Ta có: (an –am) chia hết cho 2002
Hay 2003 2003 … 2003 00 ….00 chia hết 2002

Vậy tồn tại một số có dạng 2003 2003 … 2003 00 … 00 luôn chia hết cho 2002
Bài 2: CMR từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100
Hướng dẫn giải :
Tất cả các số dư trong phép chia cho 100 được chia thành 51 nhóm như sau: {0} ;{1;99},{ 2;98}, … ,{49;51}; {50}. Có 52 số nên theo nguyên tắc Dirichlet có hai số mà cacù số dư khi chia cho 100 thuộc cùng một nhóm trên. Hai số này có hiệu chia hết cho 100 (Nếu số dư của chúng bằng nhau ) hoặc có tổng chia hết cho 100 (nếu số dư của chúng khác nhau)
Bài 3: CMR với mọi số tự nhiên a, b, c, d đều tìm được các số lấy các giá trị –1, 0, 1 (Không đồng thời lấy gia trị 0) sao cho hoặc bằng 0 hoặc chia hết cho 11
Xét các số có dạng ma + nb + pc + qd với a : b : c: d thuộc N và m; n; p; q lấy các giá trị 0;1. Có 2.2.2.2=16 số như thế khi chia các số này cho 11 theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 số có cùng số dư. Giả sử là T=m1a +n1b +p1c+q1d và E=m2a+n2b+p2c+q2d. Hai số T và E có hiệu chia hết cho 11 . Do dó :[(m1-m2)*a+(n1-n2)*b+(p1-p2)*c+(q1-q2)*d] chia hết 11.
Vì T, E khác nhau nên m1-m2; n1-n2; p1-p2; q1-q2 không đồng thời bằng 0. Và vì m1, m2, n1, n2, p1, p2, q1, q2 nhận các giá trị 0, 1 nên =m1-m2 ; = n1-n2
= p1-p2; =q1-q2. Lấy các giá trị –1,0,1
Bài 4: Cho 2002 số tự nhiên khác 0 sau cho 4 số khác nhau bất kỳ trong chúng đều lập thành một tỷ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho luôn luôn tồn tại ít nhất 501 số bằng nhau.
Ta chứng minh trong 2002 số tự nhiên đã cho chỉ nhận nhiều nhất 4 giá trị khác nhau. Thực vậy, giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 số khác nhau, giả sử a1, a2, a3, a4, a5 là 5 số khác nhau.
Không mất tính tổng quát