Bất phương trình bậc 1 - DS 10

Các mục :
Lý thuyết + bài tập : Bất phương trình bậc nhất
2) Lý thuyết + bài tập : Hệ bất phương trình bậc nhất
4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1) Định nghĩa :

Cho f(x) và g(x) xác định trên D1 và D2 .
Mệnh đề chứa x ? D = D1 ? D2 dạng :
f(x) > g(x)
Được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x
.
D được gọi là Tập xác định của bất phương trình
.
T = { x0 ? D | f(x0) > g(x0)}
gọi là Tập nghiệm
của bất phương trình
Nếu T = ?
gọi bất phương trình vô nghiệm .
.
Tương tự có các bất phương trình
f(x) < g(x)
; f(x) ? g(x)
; f(x) ? g(x)
2 ) Bất phương trình tương đương :
a) Định nghĩa :
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm
được gọi là tương đương
* 2 bất ptr vô nghiệm cũng gọi là tương đương
* Phép biến đổi 1bất ptr thành 1 bất ptr tương đương
được gọi là phép biến đổi tương đương
b) Định lý 1 :
f(x) > g(x)
?
f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
c) Định lý 2 :
f(x) > g(x)
?
f(x).h(x) > g(x).h(x)
với h(x) > 0
f(x).h(x) < g(x).h(x)
với h(x) < 0
3) Bất phương trình bậc nhất :
ax + b > 0
?
ax > - b
(I)
.
a > 0
?
(I)
?
.
a < 0
?
(I)
?
.
a = 0
?
(I)
?
0.x > - b
+)
b > 0
?
x ? R
+)
b < 0
?
x = ?
Các bptr :
ax + b < 0
; ax + b ? 0
; ax + b ? 0
Ví dụ 1 : Giải các bất phương trình
a) 5 x + 4 > 0
b) - 3 x ? 6 ? 0
Giải :
a) 5 x + 4 > 0
?
5 x > - 4
?
Vậy tập nghiệm :
T =
.
x
(
b) - 3 x ? 6 ? 0
?
3x ? - 6
?
x ? - 2
Vậy tập nghiệm :
T =
( - ? ; - 2 ]
x
.
- 2
]
- ∞
+ ∞
Ví dụ 2 : Giải và biện luận theo m
(m ? 1) x > 2 ? 3m
Giải và biện luận :
.
(m ? 1) x > 2 ? 3m
ax > - b
Lý thuyết
a > 0
?
.
a < 0
?
.
a = 0
?
0.x > -b
+)
b > 0
?
x ? R
+)
b < 0
?
x = ?
.
m ? 1 > 0
?
m > 1
?
.
m ? 1 < 0
?
m < 1
?
.
m ? 1 = 0
?
?
0.x > - 1
?
x ? R
m = 1
Ví dụ 3 : Giải và biện luận theo m
2m x ? m ? mx ? 1
Giải và biện luận :
.
m x ? m ? 1
ax > - b
Lý thuyết
a > 0
?
.
a < 0
?
.
a = 0
?
0.x > -b
+)
b > 0
?
x ? R
+)
b < 0
?
x = ?
.
m > 0
?
.
m < 0
?
.
m = 0
?
0.x ? - 1
?
2m x ? m ? mx ? 1
?
x = ?
4) Dấu của nhị thức bậc nhất :
Nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b
với a ? 0
x
Định lý về dấu :
- ?
+ ?
f(x) = ax + b
0
Cùng dấu a
trái dấu a
a.f(x) < 0
a.f(x) > 0
a) Bất phương trình tích :
(ax + b) (cx + d) > 0
.
Tìm nghiệm các nhị thức ax + b = 0 ; cx + d = 0
.
Lập bảng xét dấu ; tìm kết quả
x
- ?
+ ?
ax + b
cx + d
f(x)
0
0
cùng dấu a
cùng dấu a
trái dấu a
cùng dấu c
trái dấu c
trái dấu c
0
0
Nhân dấu
Nhân dấu
Nhân dấu
Ví dụ 1 : Giải bptr (x - 2 ) (x + 3) (1 ? 4x) > 0
.
Tìm nghiệm các nhị thức
.
Lập bảng xét dấu các nhị thức
x
- ?
- 3
1/4
2
+?
x ? 2
0
x + 3
0
1 ? 4 x
0
f(x) > 0
+
?
?
?
+
+
+
?
?
?
+
+
0
0
0
+
?
+
?
.
Vậy nghiệm bptr :
S =
(- ? ; - 3)
?
Ví dụ 2 : Giải bptr
.
Tìm nghiệm các nhị thức
.
Lập bảng xét dấu các nhị thức
x
- ?
- 4/3
5/3
5/2
+ ?
2x ? 5
0
5 - 3x
0
3x + 4
0
f(x) ? 0
+
?
?
?
+
--
--
+
+
+
--
+
||
0
0
+
?
+
?
.
Vậy nghiệm bptr :
S =
?
b) Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu :
]
[
(
Tìm nghiệm các nhị thức
5) Phương trình ; Bất phương trình bậc nhất
chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Dạng : | ax + b | = | cx + d |
Cách giải :
.
Tìm x để phá dấu trị tuyệt đối
Lập biểu thức tương ứng tính x
.
Kết luận nghiệm
Ví dụ 1 :
V | ax + b | > | cx + d |
. TXĐ phương trình x ? R
.
Giải ptr | x ? 1| + |2x ? 4| = 3
. Tìm nghiệm
. Lập bảng xét ptr
x
- ?
1
2
+ ?
| x - 1|
0
x - 1
x - 1
- ( x - 1)
|2x ? 4|
0
2x ? 4
- (2x - 4)
- (2x - 4)
-3x + 5 = 3
x = 2/3
N
-x + 3 = 3
x = 0
L
3x - 5 = 3
x = 8/3
N
. Vậy
S =
Ví dụ 2 :
. TXĐ phương trình x ? R
Giải bptr | 2x ? 3| ? x + 1
. Tìm nghiệm
. Lập bảng xét bptr
x
- ?
+ ?
| 2x - 3|
0
2x - 3
- (2 x - 3)
|2x ? 3| ? x + 1
2x ? 3 ? x + 1
- (2x - 3) ? x + 1
N
. Vậy

S =

3x ? 2
x ? 2/3
x ? 4
N
| 2x - 3|
0
- (2 x - 3)
Ví dụ 2 :
Giải và biện luận ptr | x ? 1| = 2x - m
.
Tìm nghiệm
. Lập bảng xét ptr
x
- ?
+ ?
x - 1
| x - 1|
0
- (x - 1)
|x ? 1| = 2x - m
x ? 1 =2x - m
- (x - 1) =2 x - m
3x = m+1
x = m - 1
. Biện luận tìm m ?
+)
Ptrìh có nghiệm
?
x ≤ 1
?
?
m ? 2
+)
Ptr có nghiệm
?
x > 1
?
x = m - 1 > 1
?
m > 2
Bài tập :
2. Giải bptr | 2x ? 5| ? x + 1
1. Giải bptr
3. Giải và biện luận bptr
(m + 1) x + m < 3 x + 4
4. Giải và biện luận phương trình | x ? 1| = x + m
5. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
m2 x + 4m - 3 < x + m2
1. Giải bptr :
Giải :
. Đk : x ? -1/3 ; x ? 2
. Lập bảng xét dấu
x
- ?
2
+ ?
-5x - 11
0
3x + 1
0
2 - x
0
?
?
?
+
+
+
?
?
?
+
+
+
bptr
?
+
?
+
0
||
||
. Vậy có :
2. Giải bptr | 2x ? 5| ? x + 1
Giải
. TXĐ phương trình x ? R
. Tìm nghiệm
. Lập bảng xét bptr
x
- ?
+ ?
2x - 5
|2x ? 5| ? x + 1
| 2x - 5|
0
- (2 x - 5)
-2x + 5 ? x + 1
2x - 5 ? x + 1
4 ? 3x
x ? 6
. Vậy :

S =

�5: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1) Hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn :

Ví dụ :
Giải hệ ptr
Giải :
.
. (x + 1) (x + 4) < 0
?
S1 = (- 4 ; 1)
?
?
?
?
S2 = (- 1/2 ; 3)
. Đk : x ? -1/2 ; x ? 3
.
S = S1 ? S2
?
.
- 1/2
.
3
+
+
.
- 4
.
1
)
(
2) Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn :
a) Định nghĩa :
Dạng ax + by + c > 0 ; ax + by + c ? 0
ax + by + c < 0 ; ax + by + c ? 0
b) Phương pháp giải :
Giải bằng phương pháp đồ thị
Chú ý : +) ax + by + c > 0 thì nghiệm là phần không gạch bỏ + bỏ cả biên
+) ax + by + c ? 0 thì nghiệm là phần không gạch bỏ + lấy cả biên
c) Ví dụ :
Tìm miền nghiệm của : 2x + 3y - 12 > 0
. Dựng đồ thị 2x + 3y ? 12 = 0 trên mp xOy
.
x
O
y
4
.
6
. Lấy điểm A(x ; y) 1 trong 2 vùng thế vô bpt
A(-1 ; 0) thế vô 2.(-1) + 3.0 ? 12 > 0
?
- 14 > 0
? Vô lý
? Nên vùng này bỏ đi (gạch chéo)
.
-1
A
. Vậy miền nghiệm là phần không bị gạch
bỏ biên
3) Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn :
.
Hệ gồm các ptr và bất phương trình bậc nhất có 2 ẩn số
.
Tập nghiệm là giao của các nghiệm các bất phương trình
.
Phương pháp giải : giải bằng đồ thị
Ví dụ :
Giải hệ bất phương trình :
. Vẽ các đường thẳng trên cùng 1 hệ trục
O
x
y
. Tìm nghiệm từng bpt
+) Tìm nghiệm x ? 0 là S1
+) Tìm nghiệm y ? 0 là S2
+) Tìm nghiệm 3x+y ? 6 là S3
.
6
.
2
+) Tìm nghiệm x+y ? 4 là S3
.
.
4
4
. Vậynghiệm là :
A
B
C
Tứ giác OABC kể cả biên
4) A�p dụng vào 1 bài toán kinh tế :
Bài toán :
Cho 1 xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm ký hiệu loại I ; II
1 tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng ; 1 tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng
Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M trong 3 giờ và máy N
trong 1 giờ . Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M trong 1 giờ và máy N trong 1 giờ . Một máy không thể dùng sản xuất đồng thời 2 loại sản phẩm. Máy M làm việc không quá 6 giờ 1 ngày ; máy N một ngày làm việc không quá 4 giờ . Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất .
Giải :
Gọi x (x > 0) số tấn sản phẩm I sản xuất trong ngày
Gọi y (y > 0) số tấn sản phẩm I I sản xuất trong ngày
Vì máy M làm việc không quá 6 giờ ngày nên : 3x + y ? 6
Vì máy N làm việc không quá 4 giờ ngày nên : x + y ? 4
Vậy tổng tiền lãi là : L = 2 x + 1,6 y
Dẫn đến đi tìm x ; y thoã :
để : L = 2 x + 1,6 y lớn nhất
.
O
x
y
.
6
.
2
.
.
4
4
A
B
C
Vẽ tìm nghiệm của hệ
? Tứ giác OABC kể cả biên
.
Tính toạ độ các điểm giao O ; A ; B ; C thay vào tính giá trị của L
+) O(0 ; 0) ?
Lo = 2..0 + 1,6 .0 = 0
+) A(2 ; 0) ?
LA = 2..2 + 1,6 .0 = 4
+) B(1 ; 3) ?
L B= 2..1 + 1,6 .3 = 6,8
+) C(0 ; 4) ?
L C= 2..0 + 1,6 .4 = 6,4
.
Vậy
Max L = max { LO ; LA ; LB ; LC}
Max L = max { 0 ; 4 ; 6,8 ; 6,4}
= 6,8
Khi ứng với x = 1 và y = 3
Vậy để có lãi cao nhất thì phải sx
1 tấn loại I và 3 tấn loại II
PHẠM QUỐC KHÁNH
Quyết
phen
này
theo
nàng
một
phen
Ơ�i là bạn tình ơi ?.. ?