Bat dang thuc hay

PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1/Định nghĩa

2/Tính chất
+ A>B

+ A>B và B >C

+ A>B
A+C >B + C
+ A>B và C > D
A+C > B + D
+ A>B và C > 0
A.C > B.C
+ A>B và C < 0
A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0
A
> B



+ A > B

A
> B
với n lẻ
+
>


A
> B
với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1
A
>
A

+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0



3/Một số hằng bất đẳng thức

+ A

0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An
0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+
với
(dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -
< A =

+
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+
( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M

0 với( M
Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
b) x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz
c) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu : x
+ y
+ z
- xy – yz – zx =
.2 .( x
+ y
+ z
- xy – yz – zx)
=

đúng với mọi x;y;z

Vì (x-y)2
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x
+ y
+ z
- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x
+ y
+ z
- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z)

đúng với mọi x;y;z

Vậy x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x
+ y
+ z
+3 – 2( x+ y +z ) = x
- 2x + 1 + y
-2y +1 + z
-2z +1
= (x-1)
+ (y-1)
+(z-1)

0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
; b)

c) Hãy tổng quát bài toán
Giải:
a) Ta xét hiệu

=
=
=

Vậy
. Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu

=
.Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát

Tóm lại các bước để chứng minh A
B theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)
hoặc H=(C+D)
+….+(E+F)

Bước 3:Kết luận A ( B
Ví dụ 1: Chứng minh (m,n,p,q ta đều có : m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
Giải:



(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi





Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có :

Giải: Ta có :
,



Đúng với mọi a, b