Bất đẳng thức Côsi

3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỌNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
a. Âäúi våïi hai säú khäng ám
Cho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a và b. So sánh OD và CH
OD =
CH =
Ta có :OD ≥ CH 
≥
Định lí: với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có:

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b
Ví dụ 1:
Cho a, b ,c R+
Chứng minh:
Ví dụ 2: cho 3 số không âm a, b, c.
Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab
 6
Hệ quả:
Cho a, b  R+
Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất  a = b
Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất  a = b
Ứng dụng:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3]
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
với x >1
Ta có:
X-1 > 0 và
> 0 x >1
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
y ≥ 5
Vậy Miny = 5 khi x = 3
Dấu = xẩy ra  (x-1)2 = 4  x= 3
b. Âäúi våïi ba säú khäng ám
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
Đẳng thức xẩy ra  a = b = c
Ví dụ :
Cho a, b ,c R+. Chứng minh:
Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất  a=b=c
Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất  a=b=c
Hệ quả:
Củng cố
Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
Cho 2 số:
Đẳng thức xẩy ra  a = b
Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có:
Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:
Đẳng thức xẩy ra  a = b = c
Cho 3 số:
Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số