Bất đẳng thức

CHƯƠNG I
HỆ THỐNG LÝ TUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
Tập (R,<) được định nghĩa như sau:
.
Ngoài ra ta còn có các quan hệ:





Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:












.



cùng dấu
.

.

*
*
*
*
*


*

Các bất đẳng thức cơ bản.
Bất đẳng thức Cauchy: Với
số không âm
ta luôn có:

(1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
+Với
:



đúng
Vậy (1) đúng với

+Giả sử (1) đúng với
, ta chứng minh (1) cũng đúng với
.
Thật vậy, ta có:













Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(đpcm).
Vậy (1) đúng với mọi
.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm là

(trong đó có (n – 4) số 1). Ta có:


Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2: Cho a, b, c
và
.
Chứng minh rằng:
. Dấu = xảy ra khi nào?
Giải
Ta có:


Tương tự ta có:




Suy ra:


Vậy

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

.
Ví dụ 3: Cho 1 hình chữ nhật có chu vi là P và có diện tích là S.
Chứng minh rằng:
(1)
Giải
Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b
Khi đó ta có



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:


Nhân từng vế của bất đẳng thức (do đẳng thức dương) ta được:

(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đồng thời các dấu bằng xảy ra ở 3 bất đẳng thức nhỏ, tức là



Khi đó hình chữ nhật trở thành hình vuông đơn vị.
Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Với 2n số thực
ta có:


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh trường hợp tổng quát.

ta có:

=

Nếu
thì
và bất đẳng thức đúng.
Nếu
thì
là một tam thức bậc hai. Do
nên:


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

để





Ví dụ 1: Cho a,b,c,d >0. CMR
.
Giải
Xét 2 dãy số sau:


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:


Ta sẽ chứng minh:

(2)
Ta có


Ví dụ 2: Cho
là các số thực thỏa mãn
.
Chứnh minh rằng:

Giải
Xét 2 dãy số:
và

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:


Hay
(1)
Rõ ràng khi k > 1 ta có:

(2)
Cộng từng về các bất đẳng thức (2) từ
đến

Ta có:


Do (1) và (3) suy ra:

Hay

Ví dụ 3: Cho n là số tự nhiên. CMR:

Giải
Chọn 2 dãy

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

(1)
Theo nhị thức Newton, ta có :


Cho a=b=1. Ta có:


Vậy từ (1) ta có:

Dấu “ = “ xảy ra
.
Bất đẳng thức Chebyshev: Với 2 dãy số thực tăng



Khi đó

.
Chứng minh
Đặt
.
Khi đó tồn tại
sao cho

Chọn b sao cho

Ta có