Bất đẳng thức

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC
§1 Các bất đẳng thức cơ sở
1) Bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân (AM-GM)
Định lý: Với mọi số thực không âm ta có :
Đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi
2) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Định lý: Với hai dãy số thực và ta có :

Đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi hai bộ và tỉ lệ.
3) Bất đẳng thức Chebyshev
Định lý: Với hai dãy số thực cùng tăng và ta có :

4) Bất đẳng thức về hàm lồi (Bất đẳng thức Jensen)
Định lý: Nếu f là hàm lồi trên khoảng I và thì:
Đẵng thức xảy ra khi và chỉ khi
5) Bất đẳng thức hoán vị
Định lý: Cho hai dãy số cùng tăng và Giả sử
là một hoán vị bất kỳ của (1 , 2 , ..., n) . Khi đó ta có:

Nếu hai dãy và đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều.
§2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp sử dụng các bất đẳng cơ sở
Ví dụ 1: Cho a, b, c là những số thực dương và m, n là các số nguyên dương.
Chứng minh rằng :
Giải
ApÙ dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng cần chứng minh.
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dương thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = 3 .
Chứng minh rằng :
Giải
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz:

Theo bất đẳng thức Nesbit có :
Từ đó suy ra :
Mặt khác :
Từ đó suy ra:
Ví dụ 3: Cho a, b, c là ba số nguyên dương sao cho a + b + c =2004 và x , y, z
là ba số thực. Chứng minh rằng :
(xa + ya + za)(xb + yb + zb)(xc + yc + zc9(x2004 + y2004 + z2004)
Giải
Tacó
(1)
Giả sử : thì :
Áp dung bất đẳng thức Chebyshev ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(xa + ya + za)(xb + yb + zb)(xc + yc + zc9(x2004 + y2004 + z2004)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thì

Giải
Ta nhậnthấy hai dãy a2, b2, c2 và là hai dãy đơn điệu cùng
chiều nên theo bất đẳng thức hoán vị ta có:

Do đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
2.Phương pháp sử dụng đạo hàm
Ví dụ 5: Cho các số thực a, b, c thỏa điều kiện Chứng minh rằng:
Giải
Đặt p = abc , xét hàm số f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x3 - 6x2 + 9x – p
f’(x) = 3(x -1)(x - 3) f’(x) = 0x =1 hoặc x = 3
Do f(x) = 0 có 3 nghiệm a, b, c và nên
Ta lại có f(1) = 4-p , f(3) = -p , f(0) = -p , f(4) = 4-p.
Do đó suy ra .
Vậy
Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực không âm, Chứng minh rằng:

Giải
Giả sử Xét hàm số

Vớita có nên Từ đây suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b , c = 0 hoặc các hoán vị.
3.Phương pháp phản chứng
Ví dụ 7: Cho các số dương a, b, c thỏa điều kiện
Chứng minh rằng :
Giải
Bổ đề