Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Vật lý 2007 - No1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


VŨ THỊ HÀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Thị Hà Loan


Hà nội- 2007



PHẦN1: MỞ ĐẦU
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SÓNG RIÊNG PHẦN
CHƯƠNG 3: CHUẨN HÓA HÀM SÓNG CÓ PHỔ LIÊN TỤC
PHẦN 3: KẾT LUẬN

NộI DUNG Đề TàI
PHầN 1: Mở ĐầU
Trong cơ học lượng tử, việc giải các bài toán đều qui về việc giải phương trình Schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng về nguyên tắc trong điều kiện lý tưởng thì ta hoàn toàn có thể giải nó một cách chính xác.
Tuy nhiên trong thực tế, việc giải phương trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Phần lớn các bài toán không được giải một cách chính xác. Do vậy, trong nhiều trường hợp người ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để phương trình Schodinger giải được một cách chính xác hơn.
Vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử ".
Với đề tài này, tôi chỉ tìm hiểu phương pháp gần đúng lí thuyết nhiễu loạn và phương pháp sóng riêng phần - một trường hợp đặc biệt của lí thuyết nhiễu loạn. Ngoài ra, tôi còn tìm hiểu thêm về chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục.

PHầN 2: nội dung
chương 1: Lí thuyết nhiễu loạn
1. Cơ sở lí thuyết
1.1. Đặt vấn đề



1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến
1.2.1.Trường hợp trạng thái của hệ lí tưởng không có suy
biến.
Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lượng là:


Gần đúng cấp 1 của hàm sóng

Gần đúng cấp 2 của năng lượng:


1.2.2. Điều kiện để áp dụng được lí thuyết nhiễu loạn là:
nghĩa là " " nhỏ
Khi một phần các trạng thái thuộc về phổ liên tục:




1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến
Trước hết ta khử suy biến, sau đó ta áp dụng lí thuyết nhiễu loạn không suy biến để tìm năng lượng và hàm sóng.
1.4. Kết luận
Hệ vật lý có thể áp dụng lí thuyết nhiễu loạn là hệ có:


Với giải được một cách chính xác và << .


2. Bài tập vận dụng
2.1. Bài tập 1
Hạt không có spin nằm trong trường đối xứng cầu (bài toán không nhiễu) có các mức năng lượng bằng . Dùng lí thuyết nhiễu loạn tìm năng lượng và hàm sóng của nó trong phép gần đúng bậc nhất khi có từ trường hướng dọc trục oz (từ trường yếu).
Giải
Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamintơn:

(bỏ qua số hạng tỉ lệ với A2)

Với là toán tử nhiễu loạn.

Thu được: và




2.2. Bài tập 2
Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa phi tuyến một chiều có thế năng:


Trong đó và là những hằng số
Giải
Toán tử Hamin tơn:


áp dụng lí thuyết nhiễu loạn thu được:
;
=
2.3. Bài tập 3
Hạt có khối lượng ở trong giếng thế vuông góc một chiều bề rộng d có thành cao vô hạn, chịu một nhiễu loạn nhỏ:
(d và là các hằng số).

Xác định hiệu chỉnh về năng lượng của các trạng thái dừng.

Giải
Toán tử Hamin tơn khi có nhiễu loạn:


với là toán tử nhiễu loạn.

áp dụng lí thuyết nhiễu loạn ta có kết quả: 0

Với n =1 thì:
=
Với n = 2 thì
=


Với n >2 thì:
=
Chương 2: Phương pháp sóng riêng phần
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Phương pháp sóng riêng phần
Đây là phương pháp cho phép ta biểu diễn sóng tới dưới dạng chồng chất của các sóng riêng phần.
Xét bài toán tán xạ của hai hạt, từ phương trình Schodinger:
Tiết diện hiệu dụng:
Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần:

Biến đổi, lập luận ta có:


Với tán xạ có l cho trước:
và ứng với
1.2. Tán xạ cộng hưởng
Bằng các lập luận, biến đổi, tính toán ta thu được:
2. Bài tập vận dụng
1.2. Bài tập 1
Cho biên độ tán xạ riêng phần:

a) Chứng tỏ rằng tiết diện tán xạ toàn phần được viết:
b) Khi chứng minh rằng ta có định lý quang học sau:
Giải
a) Tiết diện tán xạ toàn phần có dạng:

với:
Bằng các biến đổi, ta thu được:




b) Khi
. Ta được:
.
2.2. Bài tập 2
Sử dụng phương pháp các sóng riêng phần tìm tiết diện tán xạ toàn phần của các hạt chậm bởi hố thế vuông góc bề rộng a chiều sâu U0 (khi ka << 1).
Giải
Phương trình hàm bán kính:

:

với k
k0
=
Tiết diện tán xạ toàn phần:
=

Đặt f(r) =
. Tính toán ta thu được kết quả:
Chương 3: chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Hàm Đenta
1.1.1. Định nghĩa
Hàm Đenta được định nghĩa như sau:
Và thỏa mãn:
t¹i ( ) vµ
1.1.2. Tính chất cơ bản
a) b)
c) d)
e)
Với hàm Đenta 3 chiều:
và
1.2. Chuẩn hóa hàm sóng có phổ liên tục
Điều kiện chuẩn hóa như sau:
2. Bài tập
Chuẩn hóa hàm sóng sau:
Giải
Do tương ứng với toán tử có phổ liên tục.
Từ điều kiện chuẩn hóa thu được kết quả:
*Mở rộng (ba chiều)
Chuẩn hóa hàm sóng:
Giải
Vì phổ của tương ứng với phổ liên tục.
Từ điều kiện chuẩn hóa
Phần 3: kết luận
Qua việc nghiên cứu đề tài "Sử dụng phươngpháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử" cho thấy: Việc sử dụng phương pháp gần đúng là rất hiệu quả và cần thiết đối với việc giải các bài toán trong cơ học lượng tử.
Qua nghiên cứu cho thấy với những hệ vật lí có

trong đó phải giải được một cách chính xác và

<< thì áp dụng được phương pháp lí thuyết nhiễu loạn. Còn
phương pháp sóng riêng phần thì chỉ áp dụng hiệu quả với các hạt tán xạ có năng lượng thấp. Ngoài ra, qua nghiên cứu về việc chuần hóa hàm sóng còn cho thấy hàm sóng tương ứng với phổ liên tục thì chuẩn hóa về hàm Đenta .