Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Vật lý 2007 - No 6

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa Vật lý

Toán tử năng lượng

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn khoa học:
ThS: Phạm Thị Minh Hạnh
Sinh viên thưc hiện: Nguyễn Thị Ngân

Hà nội-2007


Mở đầu
Nội dung
Kết luận
Mở đầu
Vật lý học là một trong các môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những qui luật đơn giản và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật của sự vận động của vật chất. Để mô tả trạng thái của hệ vật, mô tả qui luật chuyển động của hệ vật trong vật lý người ta dùng một hệ thống các đại lượng vật lý. Và một trong các đại lượng vật lý quan trọng nhất đó là năng lượng.
Năng lượng là số đo chuyển động của vật chất thể hiện dưới mọi dạng của chuyển động đó. Trong vật lý có nhiều hình thức chuyển động của vật chất (chuyển động cơ, chuyển động nhiệt, chuyển động điện từ.) Nhưng năng lượng là số đo duy nhất của chuyển động vật chất dưới mọi hình thức khác nhau.

Trong các giai đoạn phát triển của vật lý học, càng về sau thì năng lượng càng được nhìn nhận một cách hoàn chỉnh và đúng với thực nghiệm hơn. Và dù ở giai đoạn nào thì nó luôn là một trong những khái niệm vật lý quan trọng nhất. Chính vì vậy em đã chọn đề tài "Toán tử năng lượng".
Nội dung
Chương 1. Cở sở lý luận của đề tài
1.1. Toán tử
1.1.1. Định nghĩa
1.1.2. Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử
1.1.3. Toán tử Hermite
1.2. Các đại lượng động lực và các toán tử
1.3. Một số toán tử vi phân
1.4. Các biểu diễn khác nhau của toán tử


Chương 2. Toán tử năng lượng theo quan điểm cổ điển
Dựa vào hệ tiên đề của cơ học lượng tử ta thấy, để nghiên cứu năng lượng của hệ chúng ta cần phải biết toán tử Hamilton, toán tử Hamilton tương ứng từ hàm Hamilton trong cổ điển.
Hàm Hamilton
là hàm của toạ độ suy rộng, xung lượng suy rộng và thời gian.
Qua một số biến đổi ta tìm được các phương trình Hamilton:


Giải các phương trình Hamilton chúng ta sẽ tìm được qui luật chuyển động của hệ. Và dựa vào hàm Hamilton có thể tìm ra đại lượng bảo toàn. Đặc biệt khi liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì H = Động năng + Thế năng = Cơ năng của hệ. Chính vì vậy toán tử năng lượng trong cơ học lượng tử được tương ứng từ hàm Hamilton trong cơ cổ điển.

Chương 3. Toán tử năng lượng theo quan điểm của cơ học lượng tử
Cơ học cổ điển bị hạn chế, có những hiện tượng mà không giải thích được bằng lý thuyết cổ điển. Do đó dẫn đến việc hình thành môn cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử người ta dùng toán tử để mô tả biến số động lực. Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết về nội dung cách mô tả đó như những tiên đề.
ở chương 2 chúng ta đã biết hàm H trùng với năng lượng của hệ ứng với chuyển động cơ khi liên kết đặt lên cơ hệ là dừng. Do đó trị riêng của toán tử chính là năng lượng của hệ. Toán tử của một hạt = toán tử động năng + toán tử hàm lực:

Nếu không phụ thuộc vào thời gian t, thì nó gọi là thế năng. Khi đó:
Như vậy, dựa vào dạng của ta thấy trong các bài toán cụ thể khi biết dạng của ta sẽ tìm được dạng của .
Toán tử trong cơ học lượng tử là một trong những toán tử quan trọng nhất. Dựa vào dạng của giải phương trình Schrodinger ta sẽ tìm được năng lượng và hàm sóng mô tả trạng thái của hạt.
Chương 4. Toán tử năng lượng theo lý thuyết trường lượng tử
Cơ học lượng tử giải quyết tốt các bài toán về chuyển động của các hạt vi mô mà nó đã khắc phục được những hạn chế mà cơ học cổ điển không giải thích được. Tuy nhiên cơ học lượng tử vẫn có mặt hạn chế. Do đó đòi hỏi phải có bộ môn mới để khắc phục những hạn chế đó. Vì vậy ra đời bộ môn lý thuyết trường lượng tử.
4.1. Nguyên lý tác dụng tối thiểu, phương trình
Euler-Lagrange.
4.2. Định lý Noether
4.3. Phép biến đổi tịnh tiến

Qua phép biến đổi tịnh tiến ta tìm được Tenxơ năng xung lượng:
Tenxơ năng xung lượng bảo toàn đối với phép biến đổi tịnh tiến. Suy ra biểu thức của véc tơ năng xung lượng 4 chiều:


: là năng lượng
: là xung lượng
Khi lượng tử hoá các trường cổ điển thì véc tơ năng xung lượng 4 chiều được tương ứng bằng toán tử năng xung lượng 4 chiều. Như vậy theo lý thuyết trường lượng tử thì năng lượng là một thành phần của véc tơ năng xung lượng 4 chiều thu được từ phép biến đổi tịnh tiến.


Kết luận
Qua đề tài này tôi đã bước đầu tìm hiểu được toán tử năng lượng theo quan điểm cổ điển, theo quan điểm của cơ học lượng tử và theo quan điểm của lý thuyết trường lượng tử.
Trong cơ học lượng tử thì toán tử năng lượng chính là toán tử Hamilton và toán tử Hamilton tổng quát = toán tử động năng + toán tử hàm lực. Khi hàm lực không phụ thuộc rõ vào thời gian thì toán tử Hamilton = toán tử động năng + toán tử thế năng. Vì cơ học lượng tử được xây dựng trên cơ sở cơ học cổ điển, các đại lượng động lực được thay bằng các toán tử. Nên toán tử năng lượng thu được từ hàm Hamilton trong cơ cổ điển. Toán tử Hamilton và hàm Hamilton đều là những đại lượng động lực có vai trò rất lớn. Đến lý thuyết trường lượng tử thì năng lượng là một thành phần của véc tơ năng xung lượng 4 chiều.

Như vậy ta thấy rằng qua các giai đoạn phát triển của vật lý học thì khái niệm năng lượng dần được nhìn nhận một cách hoàn chỉnh hơn và nó luôn là một trong những đại lượng vật lý quan trọng nhất của vật lý học.

Em mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để bản khoá luận của em thêm hoàn chỉnh hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!