Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Vật lý 2007 - No 3

Phần một: mở đầu

Như chúng ta đã biết, cho đến thế kỉ XIX thì một chuyên ngành vật lí mới đã ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó chính là " Vật lý lí thuyết". Chuyên ngành vật lý lí thuyết ra đời đã nâng cao và khái quát những định luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học, đời sống và kỹ thuật .Bằng những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết còn tìm ra những quy luật mới chưa hề được tìm ra bằng thực nghiệm và tiên đoán trứơc được mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý.
Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, sẽ gặp các phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các hàm đặc biệt như hàm Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu,.

Từ đó mà vấn đề đặt ra là phải tìm hiểu và nắm vững nội dung các hàm đặc biệt
Từ những suy nghĩ trên, em đặt ra mục đích là phải nghiên cứu về một số hàm đặc biệt trong vật lí để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình


Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương I: Hàm Delta
Chương II: Hàm Gamma
ChươngIII: Hàm Bessel.
Phần hai: Nội dung
Chương 1: Hàm DELTA
1. Hàm Delta:
1.1. Định nghĩa:
Các giá trị của hàm Delta không phải được xác định theo các giá trị của đối số như các hàm thông thường mà bằng biểu thức định nghĩa ( cho hàm Delta một biến) như sau:
Với (1.1)
1.2. Tính chất cơ bản:
Từ định nghĩa, ta dễ dàng rút ra được 7 tính chất của hàm Delta:
(2.1); (2.2); (2.3); ..(2.7)
1.3. Các bài toán liên quan:
1.3.1. Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí của nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn.

Bằng phương pháp Fourier ta đã tìm được nghiệm của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn.






Vậy nghiệm cơ bản (I.6) cho ta thấy phân bố nhiệt trong thanh lúc t > 0 nếu lúc t = 0 có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ
đặt tại điểm


Sử dựng hàm deta tìm được ý nghĩa vật lí của nghiệm (I.5): nếu nhiệt độ trong thanh lúc t = 0 được cho bởi hàm thì nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi hàm:

2.2. Vận dụng trong lí thuyết trường để nghiên cứu trường vô hướng tự do.
Bài toán: Chứng minh biểu thức của năng xung lượng qua ảnh Fourie và là:






Lời giải.
Ta có:
Để tìm được biểu thức ta tìm biểu thức của và .
Từ biểu thức của P0 và ta có biểu thức của năng xung lượng qua ảnh Founer và như sau:




2.3. Bài toán trong cơ học lượng tử:
2.3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các hàm ứng với phổ liên tục)
* Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau:
về - hàm với , và trong trường hợp tổng quát

Lời giải:
Hàm sau khi được chuẩn hóa về - hàm có dạng
Trong trường hợp tổng quát
23.2. Chứng minh các hệ hàm là trực giao:
* Bài toán : Chứng minh rằng hệ các hàm
là các hệ trực giao

Lời giải:
Sử dụng hàm Delta ta chứng minh được hệ các hàm trên là hệ các hàm trực giao
2.3.3. Tìm hàm sóng của hạt.
* Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với hạt ở trạng thái trong tọa độ biểu diễn dạng

Lời giải:





Vậy hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn là:

Chương 2: Hàm GAMAMA
1. Hàm gamma:
1.1. Định nghĩa:
Hàm Gamma là tích phân Euler loại 2, được kí hiệu và xác định ( đối với những đại lượng dương của biến độc lập ) bằng tích phân suy rộng:
( Với ) (2.1)

1.2. Các tính chất cơ bản:
1.2.1. Dễ thấy rằng tích phân (II.1) hội tụ với mọi
1.2.2. Vì tích phân (II.1) hội tụ đều đối với , nên hàm liên tục với mọi .
1.2.3. Cũng có thể chứng minh được rằng hàm có đạo hàm mọi cấp.
1.2.4. Công thức truy hồi toàn đối với hàm Gamma ( công thức cơ bản thứ nhất):
(2.2)
1.2.5 Công thức truy hồi toàn cơ bản thứ hai của hàm Gamma:
Đối với các bán nguyên:
1.2.6. Hàm Gamma đã được định nghĩa bởi tích phân (II.1) với . Nếu , ta định nghĩa nó bởi công thức (II.3), cụ thể là
1.2.7. Khi dần tới 0 hoặc tới một số nguyên âm thì dần tới vô cùng.
2. Các bài toán liên quan:
ứng dụng hàm Gamma vào việc giải bài tóan của vật lý thống kê.
Bài tóan:
Tính lượng hiệu chỉnh vào phương trình trạng thái của chất khí loãng mà các phân tử của nó tương tác với nhau theo đinh luật.

với a > 0 .

Lời giải:

Dựa vào hàm Gamma : ta có thể viết kết quả dưới dạng đơn giản:
Chương III: Hàm Bessel
1. Phương trình Bessel:
Phương trình này gọi là phương trình Bessel cấp không. Nó là trường hợp riêng của phương trình sau:
(3.9)

trong đó là một số dương nào đó. Phương trình (3.9) gọi là phương trình Bessel cấp
2. Giải phương trình Bessel. Hàm Bessel.
Ta hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình Bessel
(3.10)
dưới dạng
Nghiệm riêng của phương trình Bessel (3.10) là:

Nghiệm này gọi là hàm Bessel loại một cấp
3. Vài công thức truy hồi:
Từ công thức (3.12) có thể dễ dàng chứng minh các công thức sau:

4. Khai triển tiệm cận các hàm Bessel. Không điểm của các hàm Bessel:
Một cách chính xác, người ta chứng minh được rằng khi
hàm có dáng điệu tiệm cận với hàm

Hàm có vô số không điểm (nếu thì mọi không điểm của hàm đều thực).
5. Các hàm Bessel cấp không và cấp một:
VII. Tính trực giao của các hàm Bessel:
Giả sử là các nghiệm dương của phương
trình , trong đó Ta sẽ chứng minh rằng
(3.19)

Trong đó c là một hằng số dương nào đó, tức là hàm
,i= 1, 2,.
lập thành một họ trực giao trên đoạn [0, c]. Ta cũng nói rằng hàm lập thành một họ trực giao với trọng số x trên đoạn [0, c].
7. Giải bài toán hỗn hợp (3.1) - (3.3).
Ta xây dựng nghiệm của bài toán (3.1) - (3.3) dưới dạng
8. Dao động tự do của màng tròn:
9. Hàm Bessel hạng bán nguyên:
Ta h·y xÐt dao ®éng cña qu¶ cÇu cã biªn g¾n chÆt, nghÜa lµ t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:

Bªn trong qu¶ cÇu b¸n kÝnh q cã t©m ë gèc täa ®é
Trong quá trình giải bài toán ta đi đến phương trình:


Đó là phương trình Bessel dạng, tức là hạng bán nguyên
Theo tính chất của hàm Gama , ta có: (t+1) = t (t)
Suy ra các dao động riêng được biểu diễn bằng nghiệm sau của phương trình dao động (3.44)
10: Bài toán liên quan:
Bài toán cơ bản của hiệu ứng mặt ngoài
Bài toán: Theo dây dẫn hình trụ bán kính R có dòng điện hình sin tần số . Cần đưa ra công thức xác định mật độ dòng điện và cường độ từ trường tại một điểm trên thiết diện dây dẫn. ở đây giả thiết là dòng điện chạy ngược lại ở rất xa do đó trường của nó không ảnh hưởng tới dòng ta đang xét.
Lời giải:
Sử dụng hàm Bessel ta có:
Với bán kính r có thể nhận giá trị từ .
Ta có
Tức là mật độ dòng điện tại điểm bất kì bằng mật độ dòng tại trục hình trụ nhân với hàm Bessel bậc không của biến số kr.
Để xét tính chất của sự phân bố của mật độ dòng điện trong dây dẫn chúng ta xét hàm Bessel đối số phức:
Biến đổi ta có:
Công thức này chứng tỏ rằng, khi tần số đủ cao, có nghĩa là thì mật độ dòng điện ở mặt ngoài dây dẫn lớn hơn mật độ dòng điện cách mặt ngoài 1 khoảng là e lần. Khoảng gọi là độ dày lớp
da của dây dẫn.


PHầN BA: KếT LUậN
Trong khóa luận tốt nghiệp này, tôi đã giải quyết được các vấn đề sau:
- Tìm hiểu một số hàm cơ bản thường dùng trong vật lý, đó là các hàm số Delta, Gamma, Bessel.
- Giải một số bài tập của vật lý thống kê, Lý thuyết trường, Điện động lực, Cơ học lượng tử, có liên quan đến các hàm này.

Do thời gian và khả năng của bản thân có hạn nên khóa luận tốt nghiệp này chắc chắn còn có những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy giáo, cô giáo.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn cô giáo-TS. Lưu Thị Kim Thanh và các thầy giáo, cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận này.


Em xin chân thành cảm ơn!