Báo cáo SKKN " PP c/m tứ giác nội tiếp"

Nội dung của chuyên đề
phần 1: Phần mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
a) Cơ sở lý luận
b) Cơ sở thực tiễn
2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của đề tài
Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
* Một vài ví dụ minh hoạ
IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu
V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài
B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy
phần 3: Kết luận
Phần 4: Những tài liệu tham khảo
1.Lý do chọn đề tài:
Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, .. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, .. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh.
a.Cơ sở lý luận:
Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo " Tứ giác nội tiếp " Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 7, 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác .
Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài "Tứ giác nội tiếp một đường tròn" Với tên gọi:
1. Lý do chọn đề tài:
b.Cơ sở thực tiễn:

Tổng kết một số phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I.Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu

Nếu tứ giác ABCD có :
?A+?C=2V hoặc ?B+?D=2V
A
D
C
B
x

giả sử ?xAD = ?BCD
thế thì vì ?xAD + ?DAB = 2V (kề bù)
??BCD + ?BAD = 2V => tứ giác ABCD nội tiếp

O
Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn.
C
B
A
D
Đặc biệt hoá bài toán tứ giác ABCD có ?BAD = ?BCD =
=>Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD.
Thế thì ?BAD + ?BCD = + =
A
B
C
d
- Xét tứ giác ABCD có ?DAC = ?DBC
Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng
bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD
nội tiếp .
- Khi cho ? = ta có ?DAC = ?DBC =
Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì
tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC.
vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc ? dựng trên đoạn DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp .
ThËt vËy, gi¶ sö DAC = DBC =  ( <  < )
A
B
C
D
Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc
đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ giác ABCD nội tiếp.
? Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD đồng dạng với tam giác MCB suy ra:
? MA . MB = MC . MD
Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra ?ABD = ?DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )
? Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, A?BM,
D? MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
MA . MB = MC . MD, A? BM, D? MC => Tứ giác ABCD nội tiếp.
Giả sử AB cắt DC tại M
A
B
C
D
M
- Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn :
ta suy ra được ?ABD = ?ACD
vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng
A1 + C1 = +



Cách 3

OA = OB = OC = OD

Cách 1
Hình vẽ minh hoạ
Hệ thức
Cách chứng minh
Cách 2


C
A
B
D
x
1
1
2
C
A
B
D

1
1
bảng hệ thống phương pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đường tròn




(Hình bên phải tứ giác
ACBD nội tiếp)
MA . MB = MC . MD
Cách 6





Cách 4

Hình vẽ minh hoạ
Hệ thức
Thứ tự cách chứng minh


Cách 5
1
1
Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên.
Với cách hệ thống hoá như trên học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học .
Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm một số cách chứng minh tứ giác nội tiếp từ bài toán về đường thẳng Simson, định lý P.tôlêmê và bài toán khác:
Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu của M xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M ? (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng Simson)

+Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển nhiên đúng.

MAE K
B
C
A
C
A
B
CM FK
O
O
O
F
K
MBE F
E
=> (3), (4) (5)
(cùng cộng góc AMF và ABC cho ). Từ (3), (4), (5) => (2) => (1)
i) §iÒu kiÖn cÇn: M(O) th× E, K, F th¼ng hµng (1):
+Ta xét trường hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp => , , (đối đỉnh)
ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M?(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7).
(1)<=> (2). Thật vậy, các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB, EMFB nội tiếp
=> (7) => (6).
Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác
ABCD nội tiếp một đường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD (D?nh lý P.Tụlờmờ).
A
B
C
D
Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=
A
B
F
D
C
E
*Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 (tr 9-TL): Cho hai đường tròn (O) và (O`) gặp nhau ở A và B,

Phân tích:
C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đường tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B. Vậy là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đường trung trực của đoạn AE, và như thế tâm của đường tròn này cũng nằm trên trung trực của các đoạn thẳng nào?
A
B
O
O’
M
N
E
tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O`) ở M
; tiếp tuyến tại A của đường tròn (O`) gặp (O) tại N

Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn.
. Lấy điểm E đối xứng với A qua B.
(Đường trung trực của AM và AN)
A
B
O
O’
M
N
E
I
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM
thì: (1)? IA= IN=IE=IM (2).
Thật vậy: OI//AO` (cùng ? AN ) và AO // IO` (cùng ? AM )
=> AOIO` là hình bình hành
=>?OIO`=?OAO`= ?OBO` => OIBO` là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng OI = AO` = O`B => OIBO` là hình thang cân => IB//OO` (3) => IB?AB=>IB là đường trung trực của AE =>
IA=IN=IE=IM=>(2) => (1) đpcm.
Chú ý: Cũng có thể chứng minh IB//OO` (3) bằng cách chứng minh OO` là đường trung bình của tam giác AIB .
A
B
O
O’
M
N
H
E
I
K
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài tại E`, ta chứng minh E ? E` bằng cách chứng minh AB= BE` (vì E đối xứng với A qua B)
A
B
O
O’
M
N
H
 E’
I
K
Gọi K và H lần lượt là giao điểm của OO` với AI và AB
Cách 2:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
E
Ta có KA=KI (do AOIO` là hình bình hành) và AH=HB (do OO` là đường nối hai tâm). Do đó HK//BI ? BI//OO` mà AB?OO` suy ra IB?AB , bởi vậy AB=BE` (do tam giác AIE` cân tại I), nghĩa là E`?E
Vấn đề 1: Theo đồng chí cách 2 chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp thuộc cách nào trong các cách đã tổng kết trên, hay là một cách chứng minh khác? Vì sao?
A
B
O
O’
M
N
H
 E’
I
K
E
(5) ? Tam giác EBN và tam giác MBE đồng dạng
A
B
O
O’
M
N
E
Cách 3:
(1) ?




(4)? cùng bằng 1/2 số đo cung AB của đường tròn (O`).
(6) ? Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc)
(7) ? ? Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc)


Khai thác:
A
B
P
Q
O’
O
N
M
1
1
2
1
Cho hai đường tròn (O) và (O`) gặp nhau ở A và B, Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O`) gặp (O) tại N. NO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P, MO` cắt đường tròn (O`) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh 5 điểm B, O, P, Q, O` cùng thuộc một đường tròn.
Hướng thứ nhất (Minh hoạ cho ứng dụng 3 tr16 - TL)
Thật vậy, do nên P, A, O` thẳng hàng.

Ta có: (cùng chắn cung NA) (1)


Ta lại có ,tương tự
(cùng chắn cung MA) (2)
Tương tự Q, A, O thẳng hàng.
mà (cùng bằng 1/2 số đo cung AB của (O)) và (cùng bằng
1/2 số đo cung AB của (O`)). Do đó (3)
A
B
P
Q
O’
O
N
M
Từ (1), (2) và (3) suy ra . Điều này chứng tỏ P và Q cùng thuộc cung chứa góc nhìn OO` dưới góc . Hay tứ giác OPQO` nội tiếp đựơc (*)
A
B
P
Q
O’
O
N
M
. Do đó
Xét tứ giác BOPO` có
suy ra tø gi¸c BOPO’ néi tiÕp
®­îc (**)
Từ (*) và (**) suy ra 5 điểm
B, O, P, Q, O` cùng thuộc một đường tròn.
và
Vấn đề 2: Đồng chí có ý kiến gì về lời giải bài toán khai thác theo hướng thứ nhất (khi thay đổi một phần giả thiết)?
Hướng thứ hai:
Cho hai đường tròn (O) và (O`) gặp nhau ở A và B, AO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C, AO` cắt đường tròn (O`) tại điểm thứ hai D.

Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các ?BCO, ?BDO` và ?AOO` cùng đi qua một điểm.
O
O’
A
B
C
D
K
O
O’
A
B
C
D
K
I
?1. Chứng minh đường thẳng OO` là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp các ?BCO, ?BDO`.
?2. Đường thẳng BK cắt OO` tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng OO`.
Ví dụ 2: Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC
(AC=BC, ) D là điểm nằm trên BC sao cho OD?BI.
Chứng minh tứ giác BIOD nội tiếp một đường tròn.
C
B
H
O
D
A
K
I
Phõn tớch: Tam giác ABC cân tại C, nên O nằm giữa C và I .
Gọi giao điểm của DO và BI là K; giao của CO với AB là H,
Ta có: CH?AB. Có
(tam giác HIB vuông tại H).
Do đó
Suy ra
(do (đ?i d?nh ))
?
(do và BI là phân giác góc HBD)
? tứ giác BIOD nội tiếp
(tam giác OKI vuông tại K).
(có )
Sơ đồ cách 1: Chứng minh tứ giác BIOD nội tiếp
C
B
H
O
D
A
K
I
?

(góc KOI phụ góc OIK, góc HBI phụ HIB)
?
(đối đỉnh)
Cách 2 : Dùng phương pháp chứng minh 2 góc đối diện bằng
Thật vậy, có:
? tứ giác BIOD nội tiếp.
C
B
H
O
D
A
K
I
Khai thác bài toán:
1. Bỏ giả thiết bài toán có đúng không?
+ thì tam giác ABC đều nên O ? I, do đó bốn điểm B, I, O, D cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác BOD.
+ thì I nằm giữa C và O, chứng minh tương tự trên, ta có tứ giác BOID nội tiếp một đường tròn.
Bài toán mở rộng: Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC (AC=BC), D là điểm nằm trên BC sao cho OD ? BI. Chứng minh bốn điểm B, I, O, D cùng thuộc một đường tròn.
C
B
H
OI
D
A
C
B
H
D
A
K
I
O
2. Xác định quan hệ giữa DI và AC?
Từ tứ giác BIOD nội tiếp suy ra
mà hai và ở vị trí đồng vị nên DI // AC
C
B
H
O
D
A
K
I
3. Quan hệ giữa CD và DI?
Ta có: (do tứ giác BIOD nội tiếp) ? ? tam giác DIC cân tại D ? DC=DI.
C
B
H
O
D
A
K
I
4. Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Lại có
Ta có
Do góc ABI là góc tù nên O và C luôn cùng phía với AB, cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau ? bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.
A
B
C
O
I
?HAB và ?HCA đồng dạng ? (4)
Từ giả thiết dễ thấy ?HIK = ?A = (1)
Ví dụ 3 (tr 10-TL): Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH . Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được .
A
B
C
H
N
K
I
R
S
1
Phân tích:
giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì ? = ?NCH (2)
Chứng minh (3):
Ta chứng minh du?c ?HAS và ?HCR đồng dạng ? (5)
Từ (4) và (5) ? (6)
Từ (1) và (6) ? (3) ? (2) ? Tứ giác HCNK nội tiếp
thế thì ?HIK và ?ABC đồng dạng (3)
(c.g.c)
? ? I ? I`
Chứng minh tương tự K K`
Suy ra M M` , N N` ? ? tứ giác HCNK nội tiếp.
Cách 2: Chứng minh
Trên cạnh AB lấy điểm M`, trên cạnh AC lấy N`
sao cho AM`=AN`=AH
Gọi I`, K` là giao điểm của M`N` với phân giác

các góc BAH, CAH.
A
B
C
H
N
K
I
M
A
B
C
H
N`
K`
I`
M`
?K
?N
?I
M?
Hướng thứ nhất:
A
B
C
H
M
N
Khai thác
còn
Hay:
?
Dấu đẳng thức xảy ra ?Tam giác ABC vuông cân tại A
I
K
Ta có

Hướng thứ hai: Giả sử cố định BC cho A di chuyển sao cho ta vẫn có tam giác ABC vuông tại A. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số giữa hai đoạn MN và BC.
Tam giác AMN vuông cân tại A nên MN = AM = AH (1)
Gọi O là trung điểm của BC thì AH?OA= BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra , dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy giá trị lớn nhất của là khi tam giác ABC vuông cân tại A.
V. Giải pháp mới và sáng tạo:
Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định hướng phương pháp theo giả sử các bước sau :
Hướng thứ nhất: ( phân tích đi lên )
Bước 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn ta chọn phương pháp A nào đó ( phương pháp A là cách 1, cách 2 ., cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh điều gì ? ( điều gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách ).
Bước 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh.
Bước 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo hướng phân tích trên.
Hướng thứ hai: (Tổng hợp )
Bước 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong 6 cách ).
Bước 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
Bước 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bày lời giải.
Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phương pháp để có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tự tin hơn trong học toán .
Bài học kinh nghiệm:
Qua đề tài này tôi rút ra được bài học kinh nghiệm cho chính bản thân là có đủ phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để " Điều kiện cần và đủ " để khai thác các bài toán mới khi dạy bồi dưỡng cho HS . Cũng từ các cách chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp có thể mở ra hướng nghiên cứu tiếp vẽ hình phụ tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho một bài toán cụ thể hoặc đề ra bài toán mới trong quá trình giảng dạy. Quan trọng hơn cả vẫn là phải tự cập nhật thường xuyên các bài toán cần và đủ về tứ giác nội tiếp, để phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp ngày càng phong phú hơn.
Vấn đề 1: Theo đồng chí cách 2 chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp thuộc cách nào trong các cách đã tổng kết trên, hay là một cách chứng minh khác? Vì sao?
Vấn đề 2: Đồng chí có ý kiến gì về lời giải bài toán khai thác theo hướng thứ nhất (khi thay đổi một phần giả thiết)?
+Lời giải bài toán trên đúng với ?OAO`>900.
+Nếu ?OAO`=900.
O’
M
O
N
APQ
B
+Nếu ?OAO`<900.
O’
O
M
A
N
P
Q
B