Bán kính chính khúc

Bán kính chính khúc tại một điểm trên đường cong thì chính là bán kính của đường tròn mà đạo hàm bậc 1 và bậc 2 theo cái toạ độ nó bằng với đường cong. Theo cách nói của dân vật lý, bán kính chính khúc là vận tốc theo phương tiếp tuyến của vật trên cái đường cong đó bình phương (thì nếu chuyển động dọc theo đường cong thì đúng là chỉ có mỗi thành phần vận tốc tiếp tuyến thôi mà) chia cho gia tốc theo phương vuông góc với đường cong (tức là gia tốc theo hướng pháp tuyến): / Ta xét bài này trong hệ toạ độ Đề-các (Các hệ toạ độ khác ta sẽ đã động ở các bài viết khác) Xét bài toán sau đây: Giả sử đường cong đó thoả mãn phương trình y = f(x), thế thì tại điểm có toạ độx đã biết, bán kính chính khúc của đường cong là gì? Cái giải sẽ thường là, giả sử theo phương x, vận tốc của vật (chuyển động dọc theo đường cong) là không đổi và bằng V. Thế thì / / ` là kí hiệu của đạo hàm 1 lần theo biến x. Vì theo phương x vận tốc không đổi là V nên theo phương x, gia tốc là 0. Tính gia tốc theo phương y: / Giờ, ta có thể thấy ngay tổng vận tốc của hạt là: / Nếu góc hợp bởi vận tốc của hạt và phương x là A thì / Lại có gia tốc toàn phần của hạt chỉ có thành phần theo phương y, do đó gia tốc theo phương pháp tuyến sẽ là: / Do đó bán kính chính khúc sẽ là: / Nhưng trong một số bài toán đặc biệt, ví dụ: đường cong khép kín, thế thì phương trình của đường cong sẽ được viết dưới dạng f(x,y) = const là chủ yếu (Tất nhiên, phương trình y = f(x) có thể đưa thành f(x) - y = g(x,y) = 0 = const). Từ x ta có thể xác định được toạ độ y của điểm cần xét trên đường cong. Bài toán tổng quát hơn sẽ có dạng như sau: Giả sử đường cong đó thoả mãn phương trình f(x,y) = const, thế thì tại điểm có toạ độ (x,y) đã biết, bán kính chính khúc của đường cong là gì? Giờ mình xin giới thiệu với các bạn về định nghĩa đạo hàm riêng. Đạo hàm riêng của một hàm số L phụ thuộc vào các biến a,b,c, ...,x,y,z theo biến i sẽ được viết như sau: Cách tính của nó đơn thuần là đạo hàm, như với các biến nào khác i thì được coi như là 1 hằng số. VD: f(x,y,z) = x + y + xy + xyz thì đạo hàm riêng theo biến x của hệ sẽ là đạo hàm toàn phần của hàm nếu coi y và z là hằng số.  x đạo hàm theo x là 1 y nếu là hằng số, đạo hàm theo x sẽ là 0 xy nếu y là hằng số, đạo hàm theo x sẽ là y xyz nếu y và z là hằng số, đạo hàm theo x sẽ là yz Vậy đạo hàm riêng của f(x,y,z) theo biến x sẽ là 1 + y + yz Người ta biểu diễn toán học sự liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm riêng như sau: Hay ngắn gọn hơn: / Bây giờ ta trở lại bài toán đã đặt ra, đạo hàm theo thời gian cả 2 vế f(x,y) = const thì ta được: / Ta vẫn cho là vận tốc chuyển động của vận theo phương x là không đổi và bằng V, thế thì: / Gia tốc theo phương y sẽ là: / Tổng vận tốc của vật là: / Gia tốc theo phương bán kính: Do đó bán kính chính khúc sẽ là: Các bài tính toán về bán kính chính khúc được sử dụng rất nhiều trong các bài toán Vật Lý. nhất là động học. Việc biết sử dụng và áp dụng các công thức này sẽ làm bạn dễ dàng hơn khi giải quyết các bài động học này