Bài toán hình của Bùi T Liên

Bài toán của Bùi T Liên:
Đề bài: Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A. Vẽ đường tròn (A; AO). Dây BC thay đổi của đường tròn (A) tiếp xúc với đường tròn (O) tại H. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên OB, OC.
Chứng minh: OM.OB = ON.OC
Chứng minh: MN đi qua điểm cố định.
Chứng minh: OB.OC = 2R2
Tìm vị trí của BC để tam giác OMN có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
a) OM.OB = ON.OC = OH2
b) Tia OA cắt (A) tại D. MN cắt OD tại E.


OM.OB = ON.OC => BCNM nội tiếp => góc OMN = OCH = 900 – COH = 900 – BOD => tam giác OME vuông tại E => tgOME đồng dạng tgODB (g.g.)
=> OE.OD = OM.OB = OH2 => OE = R/2 => E cố định.
c) Tam giác DCO đồng dạng tgBHO (g.g.)
=> OD/OB = OC/OH => OB.OC = OH.OD = 2R2
d) TgOMN đồng dạng tgOCB (g.g.) => MN/BC = OE/OH = 1/2
=> MN = BC/2. Do SOMN = MN.OE/2 = R.BC/4 => SOMN max ( BCmax ( BC = 2R (BC là đường kính của (A) ( BC là tiếp tuyến của (O) tại A.