Bài toán đong nước

BÀI TOÁN ĐONG NƯỚC
Liên quan “Bổ đề Bezout”
Phạm Huy Hoạt - 1/2015
GIỚI THIỆU
Đây là bài toán hay được dùng để thử thách HS giỏi (tiểu học & THCS).
Bài toán có nhiều cách giải: bằng thực hành kết hợp suy luận hoặc bằng lập luận toán học (ứng dụng Bổ đề Bezout).
Tuy có hình thức giống với “Bài toán chia dầu” nhưng thực ra bài toán này có thể áp dụng cho nhiều đối tượng, trình độ HS; Còn có thể phát triển thành nhiều bài tương tự cho HS rèn luyện tư duy toán học
I/- Bài toán gốc
Có 1 xô nước với hai bình đong:
- Bình nhỏ dung tích 500 ml ;
- Bình to dung tích 700 ml. 
Hãy tìm cách chỉ dùng hai cái bình đong này sao cho đong ra được đúng 100 ml nước.
Cách thứ nhất (Bước 1 & 2)
Xem tiếp 
Cách thứ nhất (tiếp bước 3 & 4)
Xem tiếp 
Các cách giải khác
Cách giải thứ nhất (như trên) có kết quả số lần đong và san là ít nhất
Sau đây là cách giải thứ hai với số lần đong và san nhiều hơn: lấy 3 lần đong 700 ml (700x3=2100ml)
san lần lượt trừ đi 4 lần 500 ml (500x4= 2000 ml)
 2100 – 2000 = 100 ml
Các bước đong và san như sau:
Cách thứ hai (Bước 1 & 2)
1/ Đong đầy bình 700 ml, san 700 ml sang bình 500 ml  còn 200 ml đổ sang bình nhỏ
2/ Đong tiếp đầy bình to, san sang bình nhỏ đang có 200 ml để bình to còn 400 ml. chuyển 400 ml ang bình nhỏ
Cách thứ hai (Bước 3 & 4)
2/ Đong tiếp đầy bình to, san 100 ml sang bình nhỏ đang có 400 ml để bình to còn 600 ml.
3/ Đổ 600 ml từ bình to sang bình nhỏ (đã trả hết nước) để bình nhỏ có 500 ml nước, trong khi đó bình to còn lại: 600 – 500 = 100 ml
Cách thứ ba “láu lỉnh”

Giả sử (theo hình vẽ đầu bài), 2 bình đong là hình trụ có diện tích đáy bằng nhau
Chỉ cần 1 lần đong 700 ml, san sang bình nhỏ 500 ml, còn 200 ml chỉ việc dùng 1 ống thông nối 2 bình đong với nhau ta chia được mỗi bình 100 ml
II. Lời bình giải

1/Nếu đã biết Bổ đề Bezout (Bê-dút) và lí giải
với d  là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b , ta có thể tìm được hai số nguyên x và y sao cho
d = ax + by.
2/ Bài toán gốc nêu trên có thể áp dụng Bổ đề Bezout, (Để dễ trông ta đặt 700=7; 500=5; 100=1) .Chúng ta có
* PT thứ nhất 1= 5×3 + 7×(-2).
Do đó cách giải thứ nhât nêu trên chỉ cần đong ba lần bình 500 ml trừ đi hai lần bình 700 ml chúng ta sẽ có chính xác 100 ml.
* PT thứ hai 1 = 7x3 + 5x(-4)
Do đó cách giải thứ hai, đong ba lần bình 700 ml trừ đi 4 lần bình 500 ml chúng ta sẽ có chính xác 100 ml.
3/ Cách giải “láu lỉnh” chấp nhận cho HS Tiểu học ứng dụng nguyên lí bình thông… với điều kiện 2 bình đong có cùng thiết diện.
III. Bài ứng dụng thực hành
Bài toán 2. (Dành cho H tiểu học) Có hai cái bình dung tích 500 ml và 300 ml lít. Hãy tìm cách chỉ dùng hai cái bình này để đong ra đúng 100 mili lít nước.
Bài toán 3: Bước vào năm 2015, nhân kỉ niệm 70 năm nước nhà độc lập mời các bạn THCS giải bài toán : “Tìm số tự nhiên n sao cho 100.n - 70 chia hết cho 2015”
Gợi ý: Hãy biến bài toán thành phương trình dạng Bổ đề Bezout:
100.n - 2015x k = 70
100.n = 2015x k + 70  k = 2 thì n = 61
--------------------------------------------------------------
Phạm Huy Hoạt biên soạn 1/2015