Bai tap xac suat( 2)

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối
Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định:
Định nghĩa 3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu miền giá trị của nó là tập hữu hạn hay vô hạn đếm được .
Bảng phân phối xác suất:
a-P(x1)+P(x2)+ … +P(xn) =1
Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy )
Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất:
2) Phương sai
Định nghĩa 7:
X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc E(X) là kỳ vọng thì
D(X) = E { X- E(X)}2 = E(X2) –E(X)2
X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:
Gieo 10 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần gieo.Tìm phân phối xác suất của X. Tính P(0≤ x≤ 8)
Hướng dẫn : Xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5; gieo 10 lần được xem là 10 phép thử Bernoulli. Bài toán thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=10; p=0,5 và q=0,5. Áp dụng công thức ta có:
P(X)=
P(1≤ x )= 1- P( x<1)=1- 0,510
P(0≤ x≤ 8)= 1- (p( x=9) + P(x=10))=1-11.0,510

2) Bắn liên tục vào một mục tiêu. Bắn đến trúng đích thì dừng. Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng đích. Xác suất trúng đích là 0,2. Tìm phân phối xác suất. Viết hàm phân phối.Tính xác suất P( x≥ 2), P(x < 3).
Hướng dẫn:
* Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=(1,2,…); ta biết xác suất trúng là p= 0,2 trượt 0,8
* Ta gọi X là biến cố bắn đến viên thứ k thì trúng đính:
P(k)=qk-1.0,2= 0,8k-1.0,2 ( k=1,2,…).
*Hàm phân phối xác suất của X là :
F(X) =
*P(x>2) =1- ( P(1)=1-0,2= 0,8 ; P( x<3) = P(1) +P(2) =0,2 +0,8.0,2= 0,36

3) Biến ngẫu nhiên X có phân phân phối xác suất ( bảng 3) viết hàm phân phối của X .Tính xác suất P ( -1 ≤ x < 1)

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của hàm phân phối ta có
0 nếu x < -2
1/6 nếu -2 ≤x <0
5/6 nếu 0 ≤ x ≤ 2
1 nếu x> 2






Áp dụng tính chất của hàm phân phối xác suất ta có
P ( -1 ≤ x < 1) = F(1) – F(-1) =5/6- 1/6 =2/3
Bàng 3
4)Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn từng phát cho tới khi có viên đầu tiên trúng hoặc hết đạn thì thôi bắn. Biết xác suất bắn trúng là 0,7. Lập bảng phân phối xác suất. Viết hàm phân phối.
Hướng dẫn :
Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=( 1,2,3,4)
Gọi Ai là viên đạn thứ i trúng đích;Āi là biến cố đối của Ai .
P(x=1) = 0,7; P(x=2) = P(Ā1). P(A2) =0,21; P(x=3)=0,3.0,3.0,7=
=0,063
P(4) =0,3.0,3.0,3.=0,027
5)Một túi đượng có 10 thẻ đỏ 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ.
X là số thẻ đỏ. Tìm phân bố xác suất của X.
Giả sử rút thẻ đỏ 5 điểm, rút thẻ xanh 8 điểm. Y là tổng điểm trên 3 thẻ rút ra. Tìm phân phối xác suất của Y.
Hướng dẫn :
a)Miền giá trị của X là (0,1,2,3)
b) Theo định nghĩa biến cố Y :
Y=5X+(3-X)8= 24-3X với ( X = 0,1,2,3)
P(x=0)=P(y =24); P(x=1)= P(y =21); p(x=2)=P(y=18; P(x=3)= P(y=15)
Phân phối xác suất của Y:
6) Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng. X là biến cố tổng số nốt xuất hiện mặt trên của chúng. Lập bảng phân phối xác suất. Tính E(X),D(X), Mod, Med.
Hướng dẫn :
a)Miền giá trị của X (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12). Bằng lập bảng xác định khả năng có thể và khả năng thuận lợi cùa X tìm được :
Phân phối xác suất của X
E(X) = 7; D(X) = 5,833; Mod=7; Med=7
7) Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong có 2 bóng tốt và 3 bóng hỏng.Ta chọn từng bóng để thử ( có hoàn trả lại sau khi thử) cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì thôi. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bổ xác suất của X. Trung bình cần thử bao nhiêu.
Hướng dẫn : X là số lần bốc cần thiết .Miền giá trị của X là ( 2,3,4,5).




8) Hai xạ thủ cùng bắn tập, xác suất trúng bia của A là 0,4, của B là 0,5. Mỗi người bắn hai phát. X là biến cố phát trúng của A trừ số phát trúng của B.
a)Tìm phân bổ xác suất của X
b) Tìm phân bổ xác suất của Y = /X/
b) Y có miền giá trị ( 0,1,2 )
P(y=0)= P(x=0) = 0,37; P(y=1) = P(x=1)+ P(x=-1)=0,5;
P(y=2) = P(x=2) +P(x=-2) = 0,13 . (Lập bảng)
9) Một hộp đựng có 4 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X), D(X) , ModX, MedX
Hướng dẫn :
X có miền giá trị ( 3,4,5,6,7)
P(x=3)=1/6 ; P(x=4)=1/6 ; P(x=5)= 2 /6; P(x=6) 1/6; P(x=7)= 1/6
E(X) = 5 = ModX= MedX ; D(X )=1,667
10) Một hộp đựng có 10 chiếc thẻ, trong đó bốn thẻ số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ số 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X)
Hướng dẫn :
X có miền giá trị (2, 3,4,5,6,7) . P(x=2)= 6/45; P(x=3)=12/45 ; P(x=4)=11/45 P(x=5)= 10/45; P(x=6)= 4/45; P(x=7)= 2/45
E(X) = 4
11) Một người có 7 chìa khóa giống nhau trong đó có 2 chìa mở được ổ khoá. Thử từng chìa, thử xong bỏ ra đến khi tìm được chìa mở được thì thôi. X là số lần thử cần thiết. Tìm phân phối xác suất và E(X).
Hướng dẫn :
X có miền giá trị (1,2, 3,4,5,6) . P(x=1)= 12/42; P(x=2)=10/42 ; P(x=3)=8/42 P(x=4)= 6/42; P(x=5)= 4/42; P(x=6)= 2/42( Lập bảng );
11) Một người đi thi lấy bằng lái xe. Nếu thi không đạt phải thi lại cho đến đạt thì thôi.Gọi X là số lần anh ta phải thi lại.Tìm phân phối xác suất. Biết xác suất đậu của anh ta và mọi người đều 1/3. Giả sử có 243 người thi cùng đợt. Có bao nhiêu người thi đạt lần đầu.lần thứ hai. Phải thi ít nhất 4 lần.
Hướng dẫn : Bài toán thỏa mãn luật phân phối hình học vớ p= 1/3

Số người thi đạt lần đầu là 243/3 =81 người. Số người phải thi 2 lần là 243.9/2= 51 . Xác suất để số người thi lại ít nhất 4 lần :
P(x≥4)=1-P(x≤3)= 1-( 1/3+2/9+4/27)= 8/27, tương ứng với số người là 243.8/27= 72 người
12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
Giải
Theo tinh chất của hàm mật độ :
Hàm mật độ
13) Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối
Tìm hàm mật độ. Tính P( 1Giải : :
*Từ hàm phân phối ta có hàm mật độ :
f(x) = F’(x) =
Xác suất :P( 114) Một rổ trứng 10 quả có 4 quả hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả.
Gọi X là số trứng hỏng có trong 3 quả ta lấy ra, lập bảng phân bổ xác suất, hàm phân phối .Tìm E(X); D(X) và Mod(X)
Hướng dẫn :
Miền giá trị của X, D = ( 0,1,2,3); Tìm P (0); P(1); P(2);P(3) ta có bảng phân phố xác suất :
D(X) = E(X2) - X(E) 2 = 2-1,44= 0,56, Xmod = 1
15) Một hộp đựng bóng bàn có 5 quả, trong đó có 3 quả mới. Lấy ngẫu nhiên 2 quả để thi đấu sau trả lại, hôm sau lấy tiếp 2 quả. Gọi X là biến cố ta lấy lần 2 là bóng mới. Tìm phân phối xác suất. Viết hàm phân phối.
Hướng dẫn : Miền giá trị của X là D=( 0,1,2). Gọi Ai là biến cố quả bóng thứ i lần đầu là mới; ( i= 0,1,2)
A0, A1, A2 lập thành một hệ đầy đủ P(A0)=1/10; P(A1)=6/10; P(A2)=3/10
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta tính được P(0) =0,3;P(1)=0,54, P(2) =0,09. Bảng phân phối
Chú ý : P(x=2/A2) =0; vì số bóng mới chỉ cón 1 quả.
D(X) = E(X2) - X(E) 2 = 2-1,44= 0,56, Xmod = 1 vì p(1) = 0,5= Pmax
16) Một nhóm có 10 người gồm 6 nam 4 nữ . Lấy ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong nhóm.Lập bảng phân bổ xác suất, Tìm E(X); D(X) và Mod(X)
Hướng dẫn :
Miền giá trị của X = ( 0,1,2,3); Tìm P (0); P(1); P(2);P(3) ta có bảng phân phố xác suất :
17) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ:

nếu 0 ≤ x≤ 1
Tính a và E(X); D(X)
Giải: Theo tính chất của hàm mật độ
Hàm mật độ
Tính a và E(X); D(X)
nếu 0 ≤ x≤ 1

18)* Mỗi ngày một người đi từ nhà đến công sở qua 2 ngã tư, xác suất gặp đèn đỏ ngã tư thứ nhất 0,1 ngã tư thú 2 là 0,2. Khi gặp đèn đỏ phải chờ mất 2 phút. Hãy tìm thời gian trung bình người đó phải chờ đèn đỏ khi đến công sở mỗi ngày.
Giải: Gọi X là thời gian anh ta phải chờ đèn đỏ khi đến công sở. X là đại lượng ngẫu nhiên có miền giá trị D=( 0, 2, 4);( tính bằng phút).
Gọi Ai là biến cố anh ta phải chờ ở ngã tư thứ i ( i=1,2). Āi ( i= 1,2) là các biến cố đối lập của Ai.
P(0)=P(Ā1)P(Ā2) = 0,9.0,8 = 0,72
P(2)= P(Ā1).P(A2) +P(Ā2) P(A1) =0,9.0,2+0,8.0,1=0,26
P(4) = P( A1.A2) = P(A1).P(A2) = 0,1.0,2 = 0,02
E(X) =2.0,26+4.0,02 =0,6.
Mỗi ngày trung bình mất 0,6 phút chờ .
19) X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ
Tìm hệ số a
Thực hiện 5 phép thử độc lập. Tìm xác suất để 5 phép thử đó có 3 phép thử có biến cố rơi vào khoảng ½ Tìm hàm phân phối F(X)
Tìm E(X);
Giải: 1) Theo tính chất của hàm mật độ:
Vậy hàm mật độ
3) Xác định hàm phân phối F(X) , Từ hàm mật độ đã biết:
Giải : Vì F(x)’ = f(x) nên :
Theo tính chất của hàm mật độ:
21) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
a) Tìm k; b) P{X>2); c) MedX; d)Tìm a để P{a>X)}=3/4.
Hướng dẫn : Theo tính chất của hàm mật độ :
Med(X)= m thì m phải là nghiệm của phương trình F(x)= ½
Nếu x < 0 thì F(x) = 0 và F(x) =1 với 322) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
a) Tìm k; b)P{0,6>x>0,4 ;c) ModX;
c) Ta có hàm mật độ
23) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
a) Tìm k; b)D(X);c) MedX= XMe;
b)
c) Tìm MedX: Theo định nghĩa của Median( MedX),F(xMed)=1/2
F(x) là hàm phân phối của f(x) thì :
Hàm phân phối xác suất của :
24) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ
Tìm E(X); và D(X)
Hướng dẫn :
Áp dụng công thức tìm được D(X) =2/3
25) Tuổi thọ của một loài côn trùng là ĐLNN liên tục X ( tính theo tháng) có hàm mật độ
Tìm k và vẽ đồ thị của f(x)
Tìm modX
Tìm xác suất để loài đó chết khi 1 tháng tuổi
Hướng dẫn :
a) Tìm k tương tự bài 23) ; k=3/64
Vẽ đổ thị :
f’(x) = 0 tại x = 8/3 nên f(x) có cực trị tại x = 8/3
Đồ thi cắt trục hoành tại 2 điểm x=0 và x=4. Hình chuông úp ( H 25) b) Mod X = 8/3
C) Loài đó chết trước 1 tháng tuổi
Áp dụng công thức tính được
26) Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
Hướng dẫn : Tương tự bài 23 , áp dụng công thức tính được k= 2/7
Giải hệ
F(x0) = ½
0 ≤ x ≤ 4
x0= Med X = 7/4
27) Một xạ thủ bắn 20 phát vào bia, xác suất trúng đích là 0,8
Tìm xác suất trong 20 phát co1 phát trúng
Số phát trúng trung bình trong 20 phát.
Tìm xác suất ít nhất 18 phát trúng.
Tìm số phát trúng có khả năng nhất.
Hướng dẫn : Gọi X là số phát trúng đích. X là ĐLNN có phân phối nhị thứ ( n=20, p= 0,8)
b) E(X) = np = 0,8.20 = 16
C) Xác suất trúng ít nhất 18 viên
d) Số phát trúng khả năng xẩy ra nhất
(20 +1) 0,8 =16,8 => [16,8] =16. Số phát trúng khả năng xẩy ra nhất là 16 phát
28) Xác suất sản ra phế phẩm 0,1. Người ta bốc ngẫu nhiên 5 sản phẩm :
Tìm xác suất trong 5 sản phẩm lấy ra không quá 2 sản phẩm hỏng.
Tìm số sản phẩm hỏng trung bình
Số sản phẩm hỏng có khả năng nhất trong 5 sản phẩm
Hướng dẫn : Gọi X là số hỏng trong 5 sản phẩm lấy ra. X là ĐLNN có phân phối nhị thứ ( n=5, p= 0,1)
a) Xác suất trúng 18 viên trong 20 viên
b) Số sản phẩm hỏng trung bình E(X) = np = 0,1.5 = 0,5
c) Số sản phẩm hỏng khả năng nhiều nhất
( 5+1).0,1 = 0,6 => [0,6]= 0. Trong 5 sản phẩm khả năng hỏng không có sản phẩm nào
29) Gieo 1000 hạt giống, xác suất không nẩy mầm của là 0,005.Tìm
Tìm xác suất có 10 hạt không nẩy mầm.
Trung bình số hạt không nẩy mầm.
Số hạt không nẩy mầm khả năng xẩy ra nhất
Hướng dẫn : Gọi X là số hạt không nẩy mầm trong 1000 hạt lấy ra. X là ĐLNN có phân phối poisson n= 1000.0,005=5=λ=
a) Xác 10 hạt không nẩy mầm trong1000 hạt
b) Số hạt không nẩy mầm trung bình: E(X) = λ = 5
c) Số sản phẩm hỏng khả năng nhiều nhất
λ-1 ≤ ModX ≤ λ. Vậy số hạt không nẩy mẩm khả năng nhất là 5 hạt