Bài tập về phép toán hai ngôi

Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i): x * y = x + y +xy, với x ,y ( ℝ
(ii) m ( n = m + 2n, với m , n ( ℕ
Tìm - 3 * 4; 0 ( n; 3 ( 4.
Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.
Bài làm
a) * : R * R ( R
(x,y) ( x * y = x + y + xy
Tương ứng * là một ánh xạ vì:
( x, y ( ℝ ta có x + y + xy = x * y ( ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.
Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11
b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.
- Tính giao hoán:
( x, y ( ℝ , ta có:
x * y = x + y + xy
( x* y = y *x
y * x = y + x + yx
Nên phép tính * có tính chất giao hoán.
- Tính kết hợp:
( x, y , z ( ℝ , ta có:
( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z
= x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1)

x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z)
= x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)
Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp
Tìm phần tử trung lập:
Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ( x ( ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x
Tìm phần tử đối xứng:
Với ( x, y ( R -1 có phần tử đối xứng là x` = - 
Vì x* x` = x` * x = ( -  ) * x = -  + x + ( -  ).x =  =0

(ii) a) m ( n = m + 2n, với m , n ( ℕ.
( : N x N ( N
(m,n) ( m ( n = m + 2n
Tương ứng ( là một ánh xạ vì:
( m , n ( ℕ ( m + 2n ( ℕ
T a có 0 ( n = 0 + 2n = 2n, 3 ( 4 = 3 + 4.2 = 11
Xét các phần tử đặc biệt
Tính giao hoán:

( x, y ( ℕ , ta có:
x ( y = x + 2y
( x ( y ≠ y ( x
y ( x = y + 2x
Nên ( không có tính giao hoán.
Ví dụ: 1, 2 ( ℕ
1 ( 2 = 1 + 4 = 5
2 ( 1 = 2 + 2.1 = 4
( 5 ≠ 4
Tính chất hợp:
( x, y , z ( , ℕ ta có:
( x ( y) ( z = x ( y + 2z = x + 2y + 2z (1)

x ( (y ( z) = x +2( y ( z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)
Từ (1) (2) suy ra phép toán ( không có tính chất kết hợp.
Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0
Vì m ( 0 = ( m + 2.0 = m ( m ( ) ℕ
(m ( ℕ ( m` ( ℕ m ( m` = 0 ( phép toán ( không có phần tử trung lập

Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(i) a * b =  , với a, b ( ℚ
(ii) a ( b = a + b - ab với a, b ( A 1
Tìm ( 4 * 5; 3 (  ; 5 (  .
Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.
Bài làm
Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:
(