Bai tap ve nhom

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1.1.1 Định nghĩa. Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.”. (G,.) được gọi là nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:
(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì (xy)z = x(yz).
(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x,
x
G.
(iii) Với mọi x thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy = yx=e. Ta kí hiệu y là x –1.
Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel.

1.1.2 Định nghĩa. Cho G là nhóm H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán cảm sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm G. Ta kí hiệu H
G.

1.1.3 Định nghĩa. Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là
. Nếu
hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn.

1.1.4 Định nghĩa. Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu
x
G,
h
H thì xhx -1
H. Ta kí hiệu H
G.

1.1.5 Định nghĩa. Cho G là nhóm.
(i) Nếu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên, p là số nguyên tố thì G được gọi là p_nhóm.
(ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p_nhóm thì H được gọi là p_nhóm con của G.
(iii) Nếu G là nhóm cấp m.pnvà (m,p)=1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H được gọi là p_nhóm con Sylov của G.
(iv) Hai nhóm con H1 ,H2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x thuộc G sao cho H1=xH2x -1 và ta viết H1~H2 .
1.1.6 Định nghĩa. Cho x, y là 2 phần tử thuộc nhóm G. Phần tử xyx -1y -1 được gọi là một hoán tử của G và kí hiệu là [x,y]. Nhóm con của G sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G kí hiệu là [G,G], được gọi là nhóm con các hoán tử.
Như vậy [G,G]= với S={[x,y]
x,y
G}.

1.1.7 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nhóm G có một dãy hữu hạn các nhóm con G=G0
G1
…
Gn={e} thỏa các điều kiện sau:
(i) Gi
Gi-1, với mọi i=1,2,…,n.
(ii) Gi-1/Gi là nhóm Abel, với mọi i, n
i
1.

1.1.8 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G chỉ có 2 nhóm con chuẩn tắc là {e} và G.

1.1.9 Định nghĩa. Cho G là nhóm . Họ các nhóm con
i(G) được định nghĩa bằng qui nạp như sau
1(G)=G,
i+1(G)=[
i(G),G] với mọi i.
Các nhóm
i(G) được xác định như trên được gọi là các nhóm tâm giảm của G.

1.1.10 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên c sao cho
. Số c nhỏ nhất thoả tính chất trên được gọi là lớp của nhóm luỹ linh G.

1.1.11 Định nghĩa. Cho {Gi}
là một họ không rỗng các nhóm với phần tử đơn vị của Gi là ei. Đặt G=
={(xi)
}. Trong G ta xét phép toán sau (xi)
(yi)
=(xiyi)
. Khi đó G cùng với phép toán 2 ngôi này lập thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của một họ các nhóm {Gi}
đã cho, được kí hiệu là
.
Tập con H={(xi)

với hầu hết i thuộc I, trừ ra hữu hạn i thuộc I} là nhóm con của tích trực tiếp
và được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ các nhóm {Gi}
đã cho và được kí hiệu là


1.1.12 Định nghĩa. Cho (G,+) là nhóm, Hi là họ khác rỗng các nhóm con