Bai tập phương trình nghiệm nguyên

BỬU HAY - NGUYỄN KHUYẾN. ĐA NĂNG
Trang bìa
Trang bìa:
BỬU HAY NGUYỄN KHUYẾN - ĐÀ NẲNG lớp 8,9 phương trình có 2,3 ẩn
Áp dụng tính chia hết.:
1.Áp dụng tính chi hết Vận dụng tính chất: - Hai số nguyên a và b cùng chia hết cho số nguyên mlatex(!=0)thì (a + b); (a - b) chia cùng hết cho m Bài 1. - Nếu a.b chia hết cho m và a không chia hết cho m => b chia hết cho m (với a, b,m, số nguyên và mlatex(!=0)) Tìm x; y nguyên biết 5x + 17y = 115 5x và 115 cùng chia hết 5 => 17y chia hết cho 5; mà (17;5) = 1 => y chia hết cho 5. Đặt y = 5t (với tlatex(in Z)),thế vào phương trình đã cho Bài làm ta có: 5x + 17.5t = 115 <=> x + 17t = 23 => x = 23 -17t vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên(x; y) = (23 -17t; 5t)với tlatex(inZ) - Nếu a + b hoặc a - b chia hết cho m và a không chia hết cho m thì b chia hết cho m Bài tập:
Bài 2. * Chú ý: Nếu x; y >0 thì x = 23 - 17t > 0 và y = 5t > 0 => t < latex(23/17=1(6)/(17))) và t >0, vì t nguyên nên t = 1 nên phương trình có một nghiệm. Khi t = 1 => (x = 6; y= 5) Tìm x, y nguyên dương biết 3x + 7y = 55 Bài làm Biến đổi tìm x và tìm phần nguyên của x (hệ số của x nhỏ hơn hệ số của y) latex(rArr 3x = 48 + 7 - 7y rArr x = 16 +(7*(1 - y))/3).Đặt latex((1-y)/3=t) latex(rArrx = 16 + 7t ) và y = 1 - 3t Vì, x; y> 0 latex(rArr -16/7 < t < 1/3). Vì t nguyên latex(rArr t = -2;-1;0 Nếu t = - 2 => x = 2; y =7 .Nghiệm của phương trình ( x = 2; y = 7) Nếu t = - 1 => x = 9; y = 4 .Nghiệm của phơưng trình (x = 9; y = 4) Nếu t = 0 => x = 16; y = 1 . Nghiệm của phương trinh ( x= 16; y = 1) Bài tập:
Bài 3. Cho y = latex(sqrt(((x^2-3)^2+12x)/(x^2))+sqrt((x+2)^2 - 8x) Tìm giá trị x nguyên để y nguyên Bài làm y = latex(sqrt((x^4-6x^2+9+12x)/(x^2))+sqrt(x^2+4x+4-8x) = latex(sqrt(x^2-6+9/(x^2)+12/(x))+|x - 2| Để y nguyên thì x nguyên,|x-2| nguyên và latex(9/(x^2);và 12/x) nguyên latex(rArrx^2in Ư(9)= {+-1;+-3;+-9}và x inƯ(12)={+-1;+-2;+-3;+-4;+-6;+-12} Suy ra x = latex(+-1;+-3) x = 1 => y = 5 (nhận) x = -1 và x = 3 y không có giá trị nguyên (loại) x = -3 => y = 5 (nhận) Vậy x = 1 thì y = 5; x = - 3 thì y = 5 Bài tập:
Bài 4. Tìm các số nguyên x; y; z nghiệm đúng latex(x^2 + y^2+ z^2x^2+y^2+x^2-xy-3y-2z-3<0) Latex(<=>x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3<=-1) (vì x; y; z latex(inZ)) latex(<=>x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3+1 <=0) latex(<=>x^2-xy+(y^2)/4+3.(y^2)/4-3y+3+1+z^2<=0) latex(<=>(x^2-xy+(y^2)/4)+3((y^2)/4-y+1)+(1-2z+z^2)<=0 latex(<=>(x-y/2)^2 +3(y/2-1)^2+(z-1)^2) <=0 latex(=>x-y/2=0), latex(y/2-1=0)và z - 1 = 0 Vậy x = 1; y = 2; z = 1 Bài tập:
Bài 5 Tìm nghiệm nguyên của phương trình latex(5x^2+y^2=17+2xy) Vì có 2xy => áp dụng hđt.Biến đổi phương trình trở thành: latex(4x^2+x^2-2xy+y^2=17) latex(<=>4x^2 +(x-y)^2= 16 + 1 Vì latex(x, y!=0 => 4x^2>1), latex(=> x^2 = 4, (x-y)^2 = 1) latex(=>x = +-2) ; latex(x - y = +-1) Phương trình có 4 nghiệm (x;y) = (2; 1) = (2; 3) =(-2; -3) = -2; -1) Bài làm Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy - 2x - 5y + 14 = 0 Biến đổi phương trình trở thành : xy - 5y = 2x - 14 latex(=>y(x-5) = 2x - 14=> y = (2x-14)/(x -5) = 2 - 4/(x-5))=> x-5 là ước 4 latex(=>x in{6; 4;9;3;1}=> y in{-2;6;0;1;4} Vậy (x; y) = (6; -2) = (4;6) = (9;0) =(3;1) = (1; 4)