Bài tập Hinh hoc Afin

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ.

Giải
Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:
V = Imφ + Kerφ
Imφ ⋂ Kerφ = {θ}

C/m: V = Imφ + Kerφ
V ⊂ Imφ + Kerφ
V ⊃ Imφ + Kerφ

Dễ thấy:
☺ Imφ ⊂ V
☺ Kerφ ⊂ V

⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1)

Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong đó φ(x) ∊ Imφ.

Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x)) = φ(x) – φ(x) = {θ}
⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ.
Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ

⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ. (2)

Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφ. (Ⅰ)

C/m: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}

Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ:
y ∊ Imφ (✼)
y ∊ Kerφ (✼✼)

Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = y
Ta có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼))

Vậy: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}. (Ⅱ)

Từ (Ⅰ),(Ⅱ) nên: V = Imφ ⴲ Kerφ. ◼