Bài tập Hệ thức lượng (Hay)

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC, GIẢI TAM GIÁC
A.LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1. Các hệ thức lượng giác cơ bản:
sin2x + cos2x = 1

;
; tan ( .cot ( = 1
cot( =
; tan( =
; 1 + tan2( =
; 1 + cot2( =

2. Tích vô hướng của hai vectơ:



3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ :
Trong mp tọa độ Oxy cho :
(

4. Độ dài của vectơ:


Khoảng cách giữa 2 điểm A (
) và B (
) là:
AB =

5. Góc giữa 2 vectơ: cos(
) =
=

Góc giữa hai đường thẳng
và
có vectơ pháp tuyến là
,
=
là ( = (
) ta có :
cos ( =
=

6. Các hệ thức lượng trong tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM =

Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
cosA =
cosB =
cosC =

Định lý sin:

= 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
Độ dài đường trung tuyến của tam giác:

;



Các công thức tính diện tích tam giác:
S =
aha =
bhb =
chc S =
ab.sinC =
bc.sinA =
ac.sinB
S =
S = pr S =
với p =
(a + b + c)



B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
Câu 1: Cho
ABC có c = 35, b = 20, A = 600
Tính ha b) Tính R, r
Câu 2: Cho
ABC có AB =10, AC = 4 và A = 600
Tính chu vi của
ABC b) Tính tanC
Câu 3: Cho
ABC có A = 600, cạnh CA = 8cm, cạnh AB = 5cm
Tính BC b) Tính diện tích
ABC
c) Xét xem góc B tù hay nhọn? d) Tính độ dài đường cao AH
Tính R
Câu 4: Trong
ABC, biết a – b = 1, A = 300, hc = 2. Tính Sin B
Câu 5: Cho
ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
Tính diện tích
ABC b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
c) Tính bánh kính R, r d) Tính độ dài đường trung tuyến mb
Câu 6: Cho
ABC có a = 13cm, b = 14cm, c = 15cm
a) Tính diện tích
ABC b) Góc B tù hay nhọn? Tính B
c) Tính bán kính đường tròn R, r d) Tính độ dài đường trung tuyến
Câu 7: Cho
ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8
a) Tính diện tích
ABC b) Tính góc B
Câu 8: Cho
ABC có 3 cạnh 9; 5; và 7
a) Tính các góc của tam giác b) Tính khoảng cách từ A đến BC
Câu 9: Chứng minh rằng trong
ABC luôn có công thức

Câu 10: Cho
ABC
Chứng minh rằng SinB = Sin(A+C)
Cho A = 600, B = 750, AB = 2, tính các cạnh còn lại của
ABC
Câu 11: Cho
ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = CA, c = AB. Chứng minh rằng:
GA2 + GB2 +GC2 =

Câu 12: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = b.cosC +c.cobB
Câu 13: Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng:
a2 = 2(b2 – c2) b) Sin2A = 2(Sin2B – Sin2C)
Câu 14: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB