Bài tập giải tích 1

Chương 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến

A. Lý thuyết.
( Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số. Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số. Định nghĩa tính liên tục của hàm số.
( Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1. Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp 1. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp. Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp cao).
( Định nghĩa cực trị. Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị). Công thức tính đạo hàm hàm ẩn. Định nghĩa cực trị có điều kiện. Cách tìm cực trị có điều kiện. Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội.

B. Bài tập..

a)
b)
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
c)

d)
e)
f)

Lời giải.
a)
.
b)

c)
.
d)
.
e) Hàm số xác định khi


f) Hàm số xác định khi



2. Tính các giới hạn sau đây
a)
b)
c)

d)
e)
f)

Lời giải.
a) Từ
và
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

.
b)
.
c)
.
d) Từ
và
, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

.
e)
.
f) Do
nên

.

3. Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi

a)
b)
c)

Lời giải.
a) Do khi
, ta có

nhưng
.
b) Do khi
, ta có

nhưng
.
c) Do khi
, ta có

nhưng
.

4. Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây
a)
b)
c)

d)
e)
f)

g)
h)
i)

j)
k)
l)


Lời giải.
a)
và
.
b)
và
.
c)
và

d) Ta có
. Vậy

,

,


e)
và
.
f)
và
.
g)
,


h)
,
.
i)
,
.
j)

*)
**)

k)





l)





5. Chứng minh rằng
a) Hàm
thoả phương trình

b) Hàm
thoả phương trình

Lời giải.
a) Ta có


Khi đó

.
b) Ta có

.
Khi đó

.

6. Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các biểu thức
a)
b)
c)

Lời giải. Trong bài này ta áp dụng công thức

.
a) Đặt

,

,

.
Ta được

.
b) Đặt

,

,

.
Khi đó

.
c) Đặt

,

,

.
Khi đó

.

7. Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây
a) Cho
. Tính
.
b) Cho
Tính

c) Cho
. Tính
.
d) Cho
Tính
.

Lời giải.
a) Ta có

;
;
.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

.
b) Cho
Tính





c) Ta có


.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

.
d) Cho
Tính
.




8. Tính các đạo hàm hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm sau đây
a)
b)

c)
d)

Lời giải.
a)
và
.
b)
,

.
c)
,

.
d)









9. Tính đạo hàm của các hàm