Bài tập giải tích 1

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1
Bảng đạo hàm của hàm hợp hai biến
1
(f(x)a)’ = a fa-1(x) f’(x)
a = -1: (1/f(x))’ = -f’(x) / f2(x)
a=1/2: (
)’ = f’(x) / 2


2
(e’f(x))’ = f’(x) ef(x)

3
(af(x))’ = af(x) lna (a>0)

4
(ln(f(x))’ = f’(x) / f(x)

5
(sin f(x))’ = cos f(x). f’(x)

6
(cos f(x))’ = - sin f(x). f’(x)

7
(arcsin f(x))’ = f’(x) / (1+ f2(x)) = -(arccos f(x))’

8
(arctg f(x))’ = f(x)’ / (1 + f2(x)) = -(arccotg f(x))

9



10




Cho hàm số z = arctg (x/y)’ CMR z’’xx + z’’yy = 0
Ta có:
z’x = (x/y)’ / (1+ (x/y)2) = (1/y) / (x2 + y2)/y2 = y/( x2 + y2)
z’’xx= (-2xy)/ ( x2 + y2)2
z’y = (x/y)’/(1+(x/y)2) = -x/(x2+y2)
z’’yy = 2xy/(x2+y2)2
vậy suy ra đpcm .
Cho hàm số z = ln(1/r) với r=
CMR z’’xx + z’’yy=0
Ta có:
(ln(1/r))’ = (1/r)’ / (1/r)
z’x = (1/r)’/(1/r) = -(
)’ / (x2 + y2) = -x /(x2 + y2)
z’’xx = (-x/(x2 + y2))’ = (x2 – y2) / (x2 + y2)2

z’y = (1/r)’/(1/r) = -(
)’ / (x2 + y2) = -y /(x2 + y2)
z’’yy = (-y /(x2 + y2))’ = (y2 - x2) / (x2 + y2)2
suy ra dpcm
Cho hàm số


z’x = arctg x/y + x (x/y)’ /(1 + (x2 / y2)) – 2x = arctg x/y + x/ y(1 + (x2 / y2)) – 2x
z’y = -x2 /(y2(1 + (x2/y2))) – 2y
suy ra dpcm
Tính các đạo hàm riêng của hàm số


Xem y = const ta tìm được


Xem x = const ta tìm được


Tìm vi phân toàn phần




Tìm cực trị của hàm số


Hàm z được viết lại như sau z = ex (x2 + 4x + 4y – y2)
Tìm điểm dừng của z
z’x = ex (x2 + 4x + 4y – y2) + ex(2x + 4) = 0
z’y = ex(4 – 2y) = 0
Giải hệ trên ta được hai điểm dừng M1(-2,2); M2(-4,2)
Điều kiện đủ
z’’xx = [ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4)]’ = ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4) + ex(2x + 6) =
ex(x2 + 8x + 4y – y2 + 10)
z’’yy = [ex(x2 + 6x + 4y – y2 + 4)]’ = ex(4 – 2y)
z’’yx = ex(4 – 2y)
Xét điểm M1(-2,2) ta có A = z’’xx|M1 = -2 e-2
C = z’’yy|M1= 0
B = z’’yx|M1= 0
Vậy AC – B2= 0 chưa kết luận được.
Xét điểm M2(-4,2) ta có
A = z’’xx|M2 = -2 e-4
C = z’’yy|M2= 0
B = z’’yx|M2= 0
Vậy AC – B2= 0 chưa kết luận được.

Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy
Tìm điểm dừng của z
z’x = 3x2 – 3y
z’y = 3y2 – 3x
giải hệ trên ta được M1(0,0) và M2(1,1)
điều kiện đủ
z’’xx = 6x
z’’yy = 6y
z’’yx = -3
Xét