Bai tap dai so so cap

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN CHƯƠNG III
Chủ điểm 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ.
Bài 1.1:
Biết rằng đa thức f(x) chia cho x – 2 dư 1, f(x) chia x + 1 dư 2, tìm dư trong phép chia f(x) cho x2 – x – 2 .
Phân tích :
Áp dụng định lý Bơdu về phép chia có dư trên vành đa thức R[x] khi chia f(x) cho (x – 2) ; ( x + 1) và x2– x – 2 ta có lời giải sau.
Lời giải :
f(x) chia cho (x - 2) dư 2 nên f(x)=(x - 2).g(x) + 1 (1)
f(x) chia cho (x + 1) dư 1 nên f(x)=(x + 1).h(x) + 1 (2)
Giả sử f(x) chia cho x2 – x – 2 được thương r(x) và dư a.x + b ta có
f(x)=(x2 – x – 2).r(x) + a.x + b (3)
Từ (1) ta có f(2) =1
Từ (3) ta có f(2)=2a +b
Suy ra 2a + b =1
Từ (2) ta có f(-1) =2
Từ (3) ta cò(-1) =-a +b
Suy ra –a +b =2
Vậy ta có hệ pt


Do đó ta có dư của phép chia f(x) cho x2 – x – 2 là -1/3 .x + 5/3
Khai thác :
Tìm dư của phép chia f(x) cho x2 – 5x + 6.Biết rằng f(x) chia (x -3) dư 4 và chia (x – 2) dư 3

Bài 2.1:
CMR nếu f(x) trong trường Q[x] và f(
)=0 thì f(x) chia hết cho x2 – 5
Phân tích :
Q la trường nên tổng, hiệu , tích các số hữu tỉ là số hữu tỉ . mặt khác tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là số vô tỉ , do đó ta có lời giải
Lời giải :
Vì f(
)=0 nên
là nghiệm của f(x)
Giả sử f(x)=(x2 - 5) h(x) + r(x)
Vì x2 – 5 là phương trình bậc hai nên r(x) =a.x +b
Ta có f(
)=((
)2-5) h(x) +
.a + b
0 =
. a + b (a,b
Q)
Do
là số vô tỉ nên từ
. a + b =0 ta có a=b=0 . Vậy r(x)= 0
Vậy f(x) chia hết cho (x2 - 5)
Khai thác :
CMR trong Q(x) ,mọi đa thức nhận
là nghiệm đều chia hết cho (x2 – 13)
Bài 2.2:
Cho đa thức : f(x) =( x - 1 )n + 2x + x2n - 3. Chứng minh f(x) chia hết cho x – 1
Phân tích :
Áp dụng định lí Bơdu và định lí về phép chia có dư trên vành đa thức R[x] khi chia f(x) cho x – 1 ta có lời giải sau:
Lời giải:
Ta có (x – 1)n chia hết cho x – 1 .do đó ta cần chứng minh 2x + x2n – 3 chia hết cho x – 1
Giả sử g(x) = 2x + x2n – 3 = (x – 1) . h(x) + r (x)
Khi đó g(1) = 0.h(x) + a
0 = 0.h(x) + a
Suy ra a = 0 . vậy g(x) chia hết cho x – 1
f(x) = ( x – 1 ) n + g (x) Vậy f(x) chia hết cho x – 1
Khai thác :
Chứng minh f(x) = (x – a)n - 2x + 2a chia hết cho x – a
Bài 3.1:
Cho đa thức với hệ số nguyên f(x). CMR nếu f(a) và f(a+1) là các số nguyên lẻ (
)thì f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Phân tích:
Xuất phát từ nhân xét một số nguyên lẻ chỉ có thể là