BÀI TẬP ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
§5: TRƯỜNG
Bài 1
Giả sử X = { 0, e, x1, …xn } là một miền nguyên.
Để CM X – là 1 trường thì ta chỉ cần CM ( phần tử ≠ 0 của X đều có nghịch đảo.
G/s: xi( X, xi ≠ 0
Xét xi.X = { xi0, xie, x1x2…xixn }
Do trong X có luật giản ước (xiX = X.
e ( X((xj( X: e = xi.xj(xj là nghịch đảo của xi.
Bài 2 Xét vành Z/Zn =
0,
1
𝑛−1 }.
+ Ta phải CM Zn là một miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố.
g/s: Z/Zn là miền nguyên, n = a.b, (a, b ≠ 1
𝑛 =
𝑎.𝑏 =
𝑎
𝑏
𝑎.𝑏 = 0

𝑎=0
𝑏=0
𝑎⋮𝑛
𝑏⋮𝑛 (vì Z là một miền nguyên)
n = a.b (n là ước của a, b) mà
𝑎⋮𝑛
𝑏⋮𝑛 (mâu thuẫn với giả thiết)
( n là số nguyên tố.
+ Đảo lại: n là nguyên tố, g/s:
𝑎
𝑏( Z/Zn

𝑎
𝑏 =
0
𝑎𝑏 =
0( a.b ⋮ n (vì n là số nguyên tố)
𝑎⋮𝑛
𝑏⋮𝑛
𝑎
0
𝑏
0

( Z/Zn là một miền nguyên.
Ta phải CM: ( phần tử ≠ 0 ( Z/Zn đều có nghịch đảo
g/s:
𝑎( Z/Zn , a ≠ 0.
Bài 6Cho X là một trường, e là một phần tử đơn vị của X. Bộ phận A = {ne| n ( Z}
CM: A là vành con của vành X, A có phải là một miền nguyên không?
+ A ≠ ( vì 0 = 0.e( A, e = 1.e( A (1)
+ ( n1e, n2e( A ta có:
n1e – n2e = (n1 – n2)e( A (2)
+ ( n1e, n2e( A ta có:
n1e.n2e = (n1.n2)e( A (3)
Từ (1), (2), (3) ( A là vành con của vành X (ĐKTĐ).
Ta có: vì X là một trường, A ( X ( A không có ước của 0 và theo (1)
( A là một miền nguyên.