Bài tập của Hoài Mỹ

Em nhờ Thầy cô giáo cùng thầy Bùi Thanh Liêm giải dùm em hai bài sau:

Bài 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình



Do đó



Với x =

Với
thay vào pt (2) ta có:


Bài 2: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC chứng minh rằng
khi và chỉ khi


Trước hết ta có bài toán phụ)
Bài toán phụ(định lý Ptolemy): Cho tứ giác lồi ABCD, khi đó tứ giác nội tiếp được khi và chỉ khi AC.BD = AB.CD + AD.BC




Kéo dài AI cắt đường tròn tại tâm O tại D. Vì AD là phân giác của góc BAC nên DB = DC.
Mặt khác ta có góc DIB = góc DAB + góc ABI = góc DCB + góc IBC = góc DBC + góc IBC nên tam giác DBI cân tại D suy ra DB = DI = DC.
Áp dụng bài toán phụ ta có AD.BC = AB.CD + AC.BD = DI(AB + AC) (1)
Do đó nếu góc AIO
900 khi và chỉ khi AI
ID (dựa vào liên hệ giữa đường kính và dây)
Từ (1) ta có

Mà

Do vậy