BÀI HÌNH SỐ 2: 3.4.2018 CỦA THÙY CHI

BÀI HÌNH CỦA BẠN THÙY CHI (3.4.2018)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường trung trực của cạnh AC tại E. Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt đường trung trực của cạnh AB tại F. BE và CF cắt nhau tại G. Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEG cắt đường thẳng QE tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng: Năm điểm A, F, Q, G, P cùng thuộc một đường tròn.




/



HƯỚNG DẪN:
Theo tc đường trung trực ⇒ FA = FB ; EA = EC⇒ các tam giác ABF và ACE cân.
Lại có: BF∥DA∥CE ⇒∠FABBAD = ∠CAD = ∠CAE ⇒∠FAD EAD
Từ đó ⇒ΔABF ∼ΔACE(g - g) BF/CE)=(AB/AC); mà (AB/AC)=(BD/CD) (do AD là phân giác của góc BAC)
Do BF∥CE BF/CE)=(BG/GE)( định lí Ta-lét)
Suy ra: (BD/CD)=(BG/GE) ⇒ GD∥CE mà AD ∥CE ⇒ Ba điểm A, G, D thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của QG và CE ⇒ tứ giác AEIG là hình bình hành
⇒∠EIG = ∠EAG mà ∠AGQ EIG (đồng vị) ⇒∠FAG = ∠AGQ
Kết hợp với AGQF là hình thang (FG∥AG)
⇒ AGQF là hình thang cân do đó nội tiếp được đường tròn (1)
Do tứ giác CEPG nội tiếp ⇒∠ECF = ∠GPQ ; mà ∠QFG = ∠ECF (BF∥CE; so le trong)
⇒∠QFG = ∠QPG⇒ Tứ giác PGQF nội tiếp. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Năm điểm A, P, G, Q, F cùng thuộc một đường tròn.