Bài hình khó của thầy Giang Tiền Hải

Bài hình khó của thầy Giang Tiền Hải
Đề bài:Đường tròn (I) nằm trong đường tròn (O) và tiếp xúc với (O) tại M. Các dây AB, AC của (O) tiếp xúc với (I) tại D, E tương ứng.Trên BC lấy K sao cho CK = (AB + BC – CA):2. Tia AK cắt (O) tại N. Chứng minh rằng MN // BC.


Hướng dẫn giải
Nhận xét :Đây là dạng bài khó ,dùng cho đề thi Olympic !
Nếu nhìn kĩ thì đề bài cho có liên quan đến đường tròn nội tiếp
Đường tròn (I) có liên quan đến định lý lyness
Thực chất :Để giải được bài toán này ,em thật sự không phải là siêu nhân mà có copy một chút lời giải của tác giả về một số định lý về cái đường tròn này ở trang web : https://julielltv.wordpress.com/category/cac-dinh-li-hinh-hoc/
Các bạn và thầy cô vào xem để tham khảo
Đề giải bài toán này ,chúng ta cần có 2 bài toán phụ :

Bài toán phụ số 1:Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D .Kẻ đường kính DE của (I) .Tiếp tuyến tại E của (I) cắt AB và AC lần lượt tại M và N
1/Chứng minh :BD.EM=CD.EN
2/Trên đoạn thẳng BC lấy điểm F sao cho CF=(AB+BC-AC):2 .Chứng minh :3 điểm A,E,F thẳng hàng
Cách giải




1/Cho đường tròn (I) tiếp xúc với BC tại K
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :ME=MK ,BK=BD
IM là phân giác góc EIK ,IB là phân giác KID => góc MIB=90 độ .
Áp dụng hệ thức lượng tam giác MIB : ME.BD=MK.BK=IK2=r2
Chứng minh tương tự :NE.CD=r2=>ME.BD=EN.CD
2/Theo bài toán quen thuộc ta chứng minh được :BD=(AB+BC-AC):2
Từ đó suy ra BD=CF =>CD=BF
Theo như trên ME.BD=EN.CD

MN//BC (Ta lét
Góc ACB=góc ANM
(c-g-c)=>góc CAF = góc CAE=>3 điểm A,E,F thẳng hàng

Bài toán phụ số 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O;R) .Đường tròn (I) tiếp xúc trong với (O) tại điểm K và tiếp xúc với 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M và N
1/Chứng minh :Tâm D đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trung điểm của đoạn thẳng MN
2/MN cắt BC tại G .Chứng minh :GK vuông góc với DK
Cách giải


1/Cho KN và KM cắt (O) lần lượt tại H và S
Ta có IK=IN=> góc INK=góc OKN , OK=OH=>góc OKN=góc OHK
=>góc INK=góc OHK=>IN//OH mà IN_|_AC=>OH_|_AC=>H là điểm chính giữa cung AC .Chứng minh tương tự :S là điểm chính giữa cung AB
Cho BH cắt MN tại D .Kẻ tiếp tuyến chung YKX tại K của 2 đường tròn
Trong đường tròn (O) góc HBK=góc HKX ,trong đường tròn (I) góc NMK=góc HKX=>góc NMK =góc HBK=>Tứ giác DMBK nội tiếp
=>góc ABK+góc MDK=180 độ , mà trong đường tròn (O) góc ABK+góc ACK=180 độ => góc MDK =góc ACK=>Tứ giác NDKC nội tiếp
=>góc KCD = góc MNK , trong đường tròn (I) góc MNK=góc SKY ,trong đường tròn (O) góc SKY = góc KCS=>góc KCD= góc KCS=>3 điểm S,D,C thẳng hàng .Do H và S là các điểm chính giữa cung AC và AB =>Dễ chứng minh được D là giao điểm 2 đường phân giác góc B và C=>D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có :AD là tia phân giác góc BAC .Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có AI là tia phân giác góc BAC=>3 điểm A,D,I thẳng hàng
=>AI vuông góc với MN tại D và DM=DN=>Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trung điểm của MN
2/Ta có góc DKB=góc AMN(Tứ giác KBMD nội tiếp ) ,góc AMN=góc ANM(AM=AN) ,góc ANM = góc DKC (Tứ giác DKCN nội tiếp )=> DKB=góc DKC=> DK là tia phân